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      高中數學函數公式

      時間:2022-08-08 16:53:26 學習總結 我要投稿
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      高中數學函數公式

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      高中數學函數公式

        一、映射與函數:

        (1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函數的概念:

        如:若 , ;問: 到 的映射有 個, 到 的映射有 個; 到 的函數有 個,若 ,則 到 的一一映射有 個。

        函數 的圖象與直線 交點的個數為 個。

        二、函數的三要素:

        相同函數的判斷方法:① ;② (兩點必須同時具備)

        (1)函數解析式的求法:

        ①定義法(拼湊):②換元法:③待定系數法:④賦值法:

        (2)函數定義域的求法:

        ① ,則 ; ② 則 ;

        ③ ,則 ; ④如: ,則 ;

        ⑤含參問題的定義域要分類討論;

        如:已知函數 的定義域是 ,求 的定義域。

        ⑥對于實際問題,在求出函數解析式后;必須求出其定義域,此時的定義域要根據實際意義來確定。如:已知扇形的周長為20,半徑為 ,扇形面積為 ,則 ;定義域為 。

        (3)函數值域的求法:

        ①配方法:轉化為二次函數,利用二次函數的特征來求值;常轉化為型如: 的形式;

        ②逆求法(反求法):通過反解,用 來表示 ,再由 的取值范圍,通過解不等式,得出 的取值范圍;常用來解,型如: ;

        ④換元法:通過變量代換轉化為能求值域的函數,化歸思想;

        ⑤三角有界法:轉化為只含正弦、余弦的函數,運用三角函數有界性來求值域;

        ⑥基本不等式法:轉化成型如: ,利用平均值不等式公式來求值域;

        ⑦單調性法:函數為單調函數,可根據函數的單調性求值域。

        ⑧數形結合:根據函數的幾何圖形,利用數型結合的方法來求值域。

        求下列函數的值域:① (2種方法);

        ② (2種方法);③ (2種方法);

        三、函數的性質:

        函數的單調性、奇偶性、周期性

        單調性:定義:注意定義是相對與某個具體的區間而言。

        判定方法有:定義法(作差比較和作商比較)

        導數法(適用于多項式函數)

        復合函數法和圖像法。

        應用:比較大小,證明不等式,解不等式。

        奇偶性:定義:注意區間是否關于原點對稱,比較f(x) 與f(-x)的關系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函數;

        f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)為奇函數。

        判別方法:定義法, 圖像法 ,復合函數法

        應用:把函數值進行轉化求解。

        周期性:定義:若函數f(x)對定義域內的任意x滿足:f(x+T)=f(x),則T為函數f(x)的周期。

        其他:若函數f(x)對定義域內的任意x滿足:f(x+a)=f(x-a),則2a為函數f(x)的周期.

        應用:求函數值和某個區間上的函數解析式。

        四、圖形變換:函數圖像變換:(重點)要求掌握常見基本函數的圖像,掌握函數圖像變換的一般規律。

        常見圖像變化規律:(注意平移變化能夠用向量的語言解釋,和按向量平移聯系起來思考)

        平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

        注意:(ⅰ)有系數,要先提取系數。如:把函數y=f(2x)經過 平移得到函數y=f(2x+4)的圖象。

        (ⅱ)會結合向量的平移,理解按照向量 (m,n)平移的意義。

        對稱變換 y=f(x)→y=f(-x),關于y軸對稱

        y=f(x)→y=-f(x) ,關于x軸對稱

        y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留,x軸下方的圖象關于x軸對稱

        y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留,然后將y軸右邊部分關于y軸對稱。(注意:它是一個偶函數)

        伸縮變換:y=f(x)→y=f(ωx),

        y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。

        一個重要結論:若f(a-x)=f(a+x),則函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱;


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