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      三角函數公式

      時間:2023-07-21 10:12:32 志升 學習總結 我要投稿
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      三角函數公式大全

        三角函數作為數學的必學和重點內容,那么所有三角函數的公式有多少呢?下面yjbys小編為大家精心整理的三角函數公式大全,歡迎大家閱讀與學習!

        銳角三角函數公式

        sin α=∠α的對邊 / 斜邊

        cos α=∠α的鄰邊 / 斜邊

        tan α=∠α的對邊 / ∠α的鄰邊

        cot α=∠α的鄰邊 / ∠α的對邊

        倍角公式

        Sin2A=2SinA?CosA

        Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

        tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

        (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )

        三倍角公式

        sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

        cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

        tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

        三倍角公式推導

        sin3a

        =sin(2a+a)

        =sin2acosa+cos2asina

        輔助角公式

        Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

        sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

        cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

        tant=B/A

        Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B

        降冪公式

        sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

        cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

        tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

        推導公式

        tanα+cotα=2/sin2α

        tanα-cotα=-2cot2α

        1+cos2α=2cos^2α

        1-cos2α=2sin^2α

        1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

        =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina

        =3sina-4sina

        cos3a

        =cos(2a+a)

        =cos2acosa-sin2asina

        =(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa

        =4cosa-3cosa

        sin3a=3sina-4sina

        =4sina(3/4-sina)

        =4sina[(√3/2)-sina]

        =4sina(sin60°-sina)

        =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

        =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

        =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

        cos3a=4cosa-3cosa

        =4cosa(cosa-3/4)

        =4cosa[cosa-(√3/2)]

        =4cosa(cosa-cos30°)

        =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

        =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

        =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

        =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

        =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

        =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

        上述兩式相比可得

        tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

        半角公式

        tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

        cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.

        sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

        cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

        tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

        三角和

        sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

        cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

        tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

        兩角和差

        cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

        cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

        sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

        tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

        tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

        和差化積

        sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

        sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

        cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

        cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

        tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

        tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

        積化和差

        sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2

        cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

        sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

        cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

        誘導公式

        sin(-α) = -sinα

        cos(-α) = cosα

        tan (—a)=-tanα

        sin(π/2-α) = cosα

        cos(π/2-α) = sinα

        sin(π/2+α) = cosα

        cos(π/2+α) = -sinα

        sin(π-α) = sinα

        cos(π-α) = -cosα

        sin(π+α) = -sinα

        cos(π+α) = -cosα

        tanA= sinA/cosA

        tan(π/2+α)=-cotα

        tan(π/2-α)=cotα

        tan(π-α)=-tanα

        tan(π+α)=tanα

        誘導公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限

        萬能公式

        sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

        cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

        tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]

        其它公式

        (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

        (2)1+(tanα)^2=(secα)^2

        (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

        證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

        (4)對于任意非直角三角形,總有

        tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

        證:

        A+B=π-C

        tan(A+B)=tan(π-C)

        (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

        整理可得

        tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

        得證

        同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關系式也成立

        由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論

        (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

        (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

        (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

        (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

        (9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

        cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

        sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

        tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

        三角函數公式表

        同角三角函數的基本關系式

        倒數關系: 商的關系: 平方關系:

        tan cot=1

        sin csc=1

        cos sec=1 sin/cos=tan=sec/csc

        cos/sin=cot=csc/sec sin2+cos2=1

        1+tan2=sec2

        1+cot2=csc2

        (六邊形記憶法:圖形結構上弦中切下割,左正右余中間1記憶方法對角線上兩個函數的積為1;陰影三角形上兩頂點的三角函數值的平方和等于下頂點的三角函數值的平方;任意一頂點的三角函數值等于相鄰兩個頂點的三角函數值的乘積。)

        誘導公式(口訣:奇變偶不變,符號看象限。)

        sin(-)=-sin

        cos(-)=cos tan(-)=-tan

        cot(-)=-cot

        sin(/2-)=cos

        cos(/2-)=sin

        tan(/2-)=cot

        cot(/2-)=tan

        sin(/2+)=cos

        cos(/2+)=-sin

        tan(/2+)=-cot

        cot(/2+)=-tan

        sin()=sin

        cos()=-cos

        tan()=-tan

        cot()=-cot

        sin()=-sin

        cos()=-cos

        tan()=tan

        cot()=cot

        sin(3/2-)=-cos

        cos(3/2-)=-sin

        tan(3/2-)=cot

        cot(3/2-)=tan

        sin(3/2+)=-cos

        cos(3/2+)=sin

        tan(3/2+)=-cot

        cot(3/2+)=-tan

        sin(2)=-sin

        cos(2)=cos

        tan(2)=-tan

        cot(2)=-cot

        sin(2k)=sin

        cos(2k)=cos

        tan(2k)=tan

        cot(2k)=cot

        sin(+)=sincos+cossin

        sin(-)=sincos-cossin

        cos(+)=coscos-sinsin

        cos(-)=coscos+sinsin

        tan+tan

        tan(+)=

        1-tan tan

        tan-tan

        tan(-)=

        1+tan tan

        2tan(/2)

        sin=

        1+tan2(/2)

        1-tan2(/2)

        cos=

        1+tan2(/2)

        2tan(/2)

        tan=

        1-tan2(/2)

        sin2=2sincos

        cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2

        2tan

        tan2=

        1-tan2

        sin3=3sin-4sin3

        cos3=4cos3-3cos

        3tan-tan3

        tan3=

        1-3tan2

        倍角公式

        二倍角公式

        正弦形式:sin2α=2sinαcosα

        正切形式:tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

        余弦形式:cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

        三倍角公式

        sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

        cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

        tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

        四倍角公式

        sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

        cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

        tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

        半角公式

        正弦

        sin(A/2)=√((1-cosA)/2)

        sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

        余弦

        cos(A/2)=√((1+cosA)/2)

        cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

        正切

        tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

        tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

        積化和差

        sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

        cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

        cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

        sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2

        和差化積

        sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

        sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]

        cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

        cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

        誘導公式

        任意角α與-α的三角函數值之間的關系:

        sin(-α)=-sinα

        cos(-α)=cosα

        tan(-α)=-tanα

        cot(-α)=-cotα

        設α為任意角,π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系:

        sin(π+α)=-sinα

        cos(π+α)=-cosα

        tan(π+α)=tanα

        cot(π+α)=cotα

        利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系:

        sin(π-α)=sinα

        cos(π-α)=-cosα

        tan(π-α)=-tanα

        cot(π-α)=-cotα

        設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:

        sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

        cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

        tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

        cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

        利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系:

        sin(2π-α)=-sinα

        cos(2π-α)=cosα

        tan(2π-α)=-tanα

        cot(2π-α)=-cotα

        π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系:

        sin(π/2+α)=cosα

        cos(π/2+α)=-sinα

        tan(π/2+α)=-cotα

        cot(π/2+α)=-tanα

        sin(π/2-α)=cosα

        cos(π/2-α)=sinα

        tan(π/2-α)=cotα

        cot(π/2-α)=tanα

        sin(3π/2+α)=-cosα

        cos(3π/2+α)=sinα

        tan(3π/2+α)=-cotα

        cot(3π/2+α)=-tanα

        sin(3π/2-α)=-cosα

        cos(3π/2-α)=-sinα

        tan(3π/2-α)=cotα

        cot(3π/2-α)=tanα

        (以上k∈Z)

        拓展閱讀:三角函數常用知識點

        1、勾股定理:直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。

        2、在Rt△ABC中,∠C為直角,則∠A的銳角三角函數為(∠A可換成∠B)

        3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

        4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值;任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

        5、正弦、余弦的增減性:當0°≤α≤90°時,sinα隨α的增大而增大,cosα隨α的增大而減小。

        6、正切、余切的增減性:當0°<α<90°時,tanα隨α的增大而增大,cotα隨α的增大而減小。

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