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高中數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)排列組合公式解析
上學(xué)期間，看到知識(shí)點(diǎn)，都是先收藏再說吧！知識(shí)點(diǎn)就是一些常考的內(nèi)容，或者考試經(jīng)常出題的地方。還在苦惱沒有知識(shí)點(diǎn)總結(jié)嗎？下面是小編整理的高中數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)排列組合公式解析，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
排列組合公式
排列組合公式/排列組合計(jì)算公式
排列P------和順序有關(guān)
組合C-------不牽涉到順序的問題
排列分順序，組合不分
例如把5本不同的書分給3個(gè)人，有幾種分法。“排列”
把5本書分給3個(gè)人，有幾種分法“組合”
1.排列及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)p(n,m)表示。
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1)
2.組合及計(jì)算公式
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)
c(n,m)表示。
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!xm!)；c(n,m)=c(n,n-m)；
3.其他排列與組合公式
從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r=n!/r(n-r).
n個(gè)元素被分成k類，每類的個(gè)數(shù)分別是n1，n2，……nk這n個(gè)元素的全排列數(shù)為
n!/(n1!xn2!x……xnk!).
k類元素，每類的個(gè)數(shù)無限，從中取出m個(gè)元素的組合數(shù)為c(m+k-1，m)
排列(Pnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo)))
Pnm=nx(n-1)……(n-m+1)；Pnm=n!/(n-m)!(注：!是階乘符號(hào))；Pnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=n!；0!=1；Pn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n
組合(Cnm(n為下標(biāo)，m為上標(biāo)))
Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n!/m!(n-m)!；Cnn(兩個(gè)n分別為上標(biāo)和下標(biāo))=1；Cn1(n為下標(biāo)1為上標(biāo))=n；Cnm=Cnn-m
2008-07-0813：30
公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列。公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列。N-元素的總個(gè)數(shù)R參與選擇的元素個(gè)數(shù)!-階乘，如9!=9x8x7x6x5x4x3x2x1
從N倒數(shù)r個(gè)，表達(dá)式應(yīng)該為nx(n-1)x(n-2).(n-r+1)；
因?yàn)閺膎到(n-r+1)個(gè)數(shù)為n-(n-r+1)=r
舉例：
Q1：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，可以組成多少個(gè)三位數(shù)？
A1：123和213是兩個(gè)不同的排列數(shù)。即對(duì)排列順序有要求的，既屬于“排列P”計(jì)算范疇。
上問題中，任何一個(gè)號(hào)碼只能用一次，顯然不會(huì)出現(xiàn)988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個(gè)位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9x8x7個(gè)三位數(shù)。計(jì)算公式=P(3，9)=9x8x7，(從9倒數(shù)3個(gè)的乘積)
Q2：有從1到9共計(jì)9個(gè)號(hào)碼球，請(qǐng)問，如果三個(gè)一組，代表“三國(guó)聯(lián)盟”，可以組合成多少個(gè)“三國(guó)聯(lián)盟”？
A2：213組合和312組合，代表同一個(gè)組合，只要有三個(gè)號(hào)碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C”計(jì)算范疇。
上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個(gè)數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個(gè)數(shù)即為最終組合數(shù)C(3，9)=9x8x7/3x2x1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設(shè)有3名學(xué)生和4個(gè)課外小組。
(1)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組；
(2)每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加。各有多少種不同方法？
解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個(gè)課外小組中的任何一個(gè)，而不限制每個(gè)課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法。
(2)由于每名學(xué)生都只參加一個(gè)課外小組，而且每個(gè)小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法。
點(diǎn)評(píng)由于要讓3名學(xué)生逐個(gè)選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進(jìn)行計(jì)算。
例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
解依題意，符合要求的排法可分為第一個(gè)排、、中的某一個(gè)，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：
∴符合題意的不同排法共有9種。
點(diǎn)評(píng)按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理。為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計(jì)數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型。
例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出結(jié)果。
(1)高三年級(jí)學(xué)生會(huì)有11人：
①每?jī)扇嘶ネㄒ环庑牛餐硕嗌俜庑牛?/p>
②每?jī)扇嘶ノ樟艘淮问郑参樟硕嗌俅问郑?/p>
(2)高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組共10人：
①?gòu)闹羞x一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法？
②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法？
(3)有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)：
①?gòu)闹腥稳蓚�(gè)數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？
②從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？
(4)有8盆花：
①?gòu)闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？
②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？
分析(1)
①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；
②由于每?jī)扇嘶ノ找淮问郑着c乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題。其他類似分析。
(1)①是排列問題，共用了封信；
②是組合問題，共需握手(次).
(2)①是排列問題，共有(種)不同的選法；
②是組合問題，共有種不同的選法。
(3)①是排列問題，共有種不同的商；
②是組合問題，共有種不同的積。
(4)①是排列問題，共有種不同的選法；
②是組合問題，共有種不同的選法。
例4證明。
證明左式
右式。
∴等式成立。
點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡(jiǎn)化。
例5化簡(jiǎn)。
解法一原式
解法二原式
點(diǎn)評(píng)解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，都使變形過程得以簡(jiǎn)化。
例6解方程：(1)；(2).
解(1)原方程
解得。
(2)原方程可變?yōu)?/p>
∵，
∴原方程可化為。
即，解得
排列組合定義
從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù))個(gè)不同的元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列;從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) A(n,m)表示。
排列組合公式
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!
C-Combination 組合數(shù)
A-Arrangement 排列數(shù)
n-元素的總個(gè)數(shù)
m-參與選擇的元素個(gè)數(shù)
i-階乘
排列組合基本計(jì)數(shù)原理
加法原理與分布計(jì)數(shù)法
1、加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。
2、第一類辦法的方法屬于集合A1，第二類辦法的方法屬于集合A2，……，第n類辦法的方法屬于集合An，那么完成這件事的方法屬于集合A1UA2U…UAn。
3、分類的要求：每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù);兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重);完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。
乘法原理與分布計(jì)數(shù)法
1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1xm2xm3x…xmn種不同的方法。
2、合理分步的要求：任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù);各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立;只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同。
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