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      高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié)

      時間:2023-06-16 05:21:09 學(xué)習(xí)總結(jié) 我要投稿
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      高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié)

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      高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點總結(jié)

        銳角三角函數(shù)公式

        sinα=∠α的對邊/斜邊

        cosα=∠α的鄰邊/斜邊

        tanα=∠α的對邊/∠α的鄰邊

        cotα=∠α的鄰邊/∠α的對邊

        倍角公式

        Sin2A=2SinA?CosA

        Cos2A=CosA^2—SinA^2=1—2SinA^2=2CosA^2—1

        tan2A=(2tanA)/(1—tanA^2)

        (注:SinA^2是sinA的平方sin2(A))

        三倍角公式

        sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3—α)

        cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3—α)

        tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3—a)

        三倍角公式推導(dǎo)

        sin3a

        =sin(2a+a)

        =sin2acosa+cos2asina

        輔助角公式

        Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中

        sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

        cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

        tant=B/A

        Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α—t),tant=A/B降冪公式

        sin^2(α)=(1—cos(2α))/2=versin(2α)/2

        cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

        tan^2(α)=(1—cos(2α))/(1+cos(2α))

        推導(dǎo)公式

        tanα+cotα=2/sin2α

        tanα—cotα=—2cot2α

        1+cos2α=2cos^2α

        1—cos2α=2sin^2α

        1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

        =2sina(1—sin2a)+(1—2sin2a)sina

        =3sina—4sin3a

        cos3a

        =cos(2a+a)

        =cos2acosa—sin2asina

        =(2cos2a—1)cosa—2(1—sin2a)cosa

        =4cos3a—3cosa

        sin3a=3sina—4sin3a

        =4sina(3/4—sin2a)

        =4sina[(√3/2)2—sin2a]

        =4sina(sin260°—sin2a)

        =4sina(sin60°+sina)(sin60°—sina)

        =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°—a)/2]*2sin[(60°—a)/2]cos[(60°—a)/2]

        =4sinasin(60°+a)sin(60°—a)

        cos3a=4cos3a—3cosa

        =4cosa(cos2a—3/4)

        =4cosa[cos2a—(√3/2)2]

        =4cosa(cos2a—cos230°)

        =4cosa(cosa+cos30°)(cosa—cos30°)

        =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a—30°)/2]*{—2sin[(a+30°)/2]sin[(a—30°)/2]}

        =—4cosasin(a+30°)sin(a—30°)

        =—4cosasin[90°—(60°—a)]sin[—90°+(60°+a)]

        =—4cosacos(60°—a)[—cos(60°+a)]

        =4cosacos(60°—a)cos(60°+a)

        上述兩式相比可得

        tan3a=tanatan(60°—a)tan(60°+a)

        半角公式

        tan(A/2)=(1—cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);

        cot(A/2)=sinA/(1—cosA)=(1+cosA)/sinA

        sin^2(a/2)=(1—cos(a))/2

        cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

        tan(a/2)=(1—cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和

        sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ—sinα·sinβ·sinγ

        cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ—cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ—sinα·sinβ·cosγ

        tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ—tanα·tanβ·tanγ)/(1—tanα·tanβ—tanβ·tanγ—tanγ·tanα)

        兩角和差

        cos(α+β)=cosα·cosβ—sinα·sinβ

        cos(α—β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

        sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

        tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1—tanα·tanβ)

        tan(α—β)=(tanα—tanβ)/(1+tanα·tanβ)

        和差化積

        sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ—φ)/2]

        sinθ—sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ—φ)/2]

        cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ—φ)/2]

        cosθ—cosφ=—2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ—φ)/2]

        tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1—tanAtanB)

        tanA—tanB=sin(A—B)/cosAcosB=tan(A—B)(1+tanAtanB)

        積化和差

        sinαsinβ=[cos(α—β)—cos(α+β)]/2

        cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α—β)]/2

        sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α—β)]/2

        cosαsinβ=[sin(α+β)—sin(α—β)]/2

        誘導(dǎo)公式

        sin(—α)=—sinα

        cos(—α)=cosα

        tan(—a)=—tanα

        sin(π/2—α)=cosα

        cos(π/2—α)=sinα

        sin(π/2+α)=cosα

        cos(π/2+α)=—sinα

        sin(π—α)=sinα

        cos(π—α)=—cosα

        sin(π+α)=—sinα

        cos(π+α)=—cosα

        tanA=sinA/cosA

        tan(π/2+α)=—cotα

        tan(π/2—α)=cotα

        tan(π—α)=—tanα

        tan(π+α)=tanα

        誘導(dǎo)公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限

        萬能公式

        sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]

        cosα=[1—tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]

        tanα=2tan(α/2)/[1—tan^(α/2)]

        其它公式

        (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

        (2)1+(tanα)^2=(secα)^2

        (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

        證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

        (4)對于任意非直角三角形,總有

        tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

        證:

        A+B=π—C

        tan(A+B)=tan(π—C)

        (tanA+tanB)/(1—tanAtanB)=(tanπ—tanC)/(1+tanπtanC)

        整理可得

        tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

        得證

        同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關(guān)系式也成立

        由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

        (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

        (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

        (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1—2cosAcosBcosC

        (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

        (9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n—1)/n]=0

        cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n—1)/n]=0以及

        sin^2(α)+sin^2(α—2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

        tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB—tan(A+B)=0

        【拓展】文科數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識點學(xué)習(xí)資料

        三角函數(shù)

        正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

        1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

        零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角

        2、角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.

        第二象限角的集合為k36090k360180,k

        第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

        終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k

        第一象限角的集合為k360k36090,k

        3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

        4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

        5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是

        l.r

        180

        6、弧度制與角度制的換算公式:2360,1,157.3.180

        7、若扇形的圓心角為

        為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lr,C2rl

        數(shù)學(xué)判定與性質(zhì)區(qū)別

        1數(shù)學(xué)中的判定

        判定多用于數(shù)學(xué)的證明概念,通過事物的本質(zhì)屬性反映出的本質(zhì)性質(zhì),以此作為依據(jù)推知下一步結(jié)論,這個行為叫做判定。

        例如:兩組對邊分別平行的四邊形,叫做平行四邊形,這個作為已證明的定理,揭示了本質(zhì),可以說是“永遠(yuǎn)成立”。

        以此作為判定依據(jù),這個依據(jù)叫判定定理,我發(fā)現(xiàn)一個四邊形的一組對邊平行且相等,那么可以斷定此四邊形就是平行四邊形,這個行為叫判定

        2數(shù)學(xué)性質(zhì)

        數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)表觀和內(nèi)在所具有的特征,一種事物區(qū)別于其他事物的屬性。如:平行四邊形的性質(zhì):對邊平行,對邊相等,對角線互相平分,中心對稱圖形。

        垂直平分線定理

        性質(zhì)定理:在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等;

        判定定理:到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上

        角平分線:把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

        定義中有幾個要點要注意一下的,就是角的角平分線是一條射線,不是線段也不是直線,很多時,在題目中會出現(xiàn)直線,這是角平分線的對稱軸才會用直線的,這也涉及到軌跡的問題,一個角個角平分線就是到角兩邊距離相等的點

        性質(zhì)定理:角平分線上的點到該角兩邊的距離相等

        判定定理:到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上

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