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投資乘數與資本－產出比率是何關系？
畢業論文
1．投資乘數
1提起“乘數”，人們自然而然地會聯想到凱恩斯（John M. Keynes）的“投資乘數”（investment multiplier）。“乘數”或稱為“倍數”，雖然不是凱恩斯所首創，但人們往往和凱恩斯構成必然聯系。這不是沒有道理的。凱恩斯從最簡單的收入分配關系式出發：
Y=C+I ―――――――――――――――――――――――――――（1）
即每年的收入Y分解為消費C和投資I（假定儲蓄全部轉化為投資），進而假定消費C占收入Y的比例為b，稱b為邊際消費傾向，0≤b≤1，即
C=bY ―――――――――――――――――――――――――――（2）
將式（2）代入式（1），從而得到式子Y=bY+I，由此式可以得到Y=（1/(1-b)）I 。如果對上式求增量，則可以得到下式（假定邊際消費傾向不變）：
ΔY=(1/(1-b))ΔI ――――――――――――――――――――――（3）
凱恩斯用自己的名字的第1個字母k表示ΔI前面的系數：
k=1/(1-b) ――――――――――――――――――――――――――（4）
并稱k為投資乘數。他的原話是這樣的：“稱k為投資乘數（investment multiplier）” “1－1/k即為邊際消費傾向”“這個乘數告訴我們，當總投資量增加時，所得之增量將k倍于投資增量”（Keynes，1981，第99頁）。
通常邊際消費傾向b＜1，所以乘數k肯定大于1，而且可以展開成無窮級數：
k=1/(1-b)=1+b+b↑2＋b↑3＋…… ―――――――――――――――（5）
上式中“b↑x”表示b的x冪。將式（5）代入式（3），可得收入增量：
ΔY=kΔI =1/(1-b)ΔI =ΔI +bΔI +(b↑2)ΔI＋(b↑3)ΔI＋…… －――（6）
根據級數公式（6），于是人們作出了投資的連鎖效應解釋。本文不打算對這些關于投資的連鎖作用解釋的荒謬性再行批駁，有興趣鉆研的可參閱網文[2]。本文主要是要把“投資乘數”和下面的資本－產出比率相溝通，所以再對這個“投資乘數”的定義多說幾句。
凱恩斯說：“這個乘數告訴我們，當總投資量增加時，所得之增量將k倍于投資增量”（Keynes，1981，第99頁）。“凱恩斯認為，投資乘數的意義不僅僅是投資的增加直接或間接引起了國民收入的成倍增加，而且對就業也有同樣的意義。……所以，與投資乘數相適應，由于投資的增加，使收入成倍增加，從而引起就業量的成倍增加。”（吳賢忠，1987，第62頁）。“乘數也叫倍數。……投資乘數即為投資量變化數與國民收入變化量的比率，用公式表示為
投資乘數＝國民收入的變化/投資的變化＝ΔY/ΔI”（楊君昌，1999，第355頁）。“故ΔY＝ΔI/(1-b)，上式中1/(1-b)稱為‘乘數’，其中b為邊際消費傾向。……所謂‘乘數原理’是說，增加1筆投資ΔI，……引起的國民收入增加量（ΔY）……是為初始的投資量的若干倍，……乘數之值等于邊際儲蓄傾向之倒數。”（宋承先，1997，第123頁）。
引了這么多家定義，它們都是1致的，所以是足夠了。歸納起來，還是凱恩斯說的：當總投資量增加ΔI時，國民收入增量ΔY將k倍于投資增量：
ΔY＝kΔI ―――――――――――――――――――――――――（7）
投資乘數k的意義是：投資增加1億元，國民收入將增加k億元。
2．資本－產出比率
現在介紹資本－產出比率的定義。
“生產出1定量產品Y必須使用1定量資本物（廠房機器設備和原材料等）K，例如按照生產技術的要求，生產出某種產品Y＝100美元，必須配備的資本K＝300美元，則資本－產出比率β＝K/Y＝300美元/100美元＝3。”（宋承先，1997，第177頁）。“假定在如何時期，產量與所需配備的資本物之間有1固定不變的比率β，即
K(t-1)=βY(t-1)
K(t)=βY(t)
故 K(t)－K(t-1)=β(Y(t)－Y(t-1))
上式表示，為了使本時期產量增加ΔY(t)＝Y(t)－Y(t-1)，要求添置的資本物ΔK(t)＝K(t)－K(t-1)，即進行的投資I等于βΔY(t)：
ΔK(t)＝βΔY(t)
I＝βΔY(t)” （宋承先，1997，第178頁）。
根據上面的思想，假定t-1年的資本是K(t-1)，產出是Y(t-1)，有關系式K(t-1)= βY(t-1)，第t年的資本在K(t)的基礎上再增加投資ΔI，資本存量變成K(t)+ΔI，則第t年的產出由Y(t)增加到Y(t)+ΔY，從而有如下關系式：
K(t)+ΔI＝β（Y(t)＋ΔY） ――――――――――――――――――（8）
這里的ΔY是由于增加投資ΔI引起的。因為前面有公式K(t)=βY(t)，所以由公式（8）可以得到下式：
ΔI＝βΔY ――――――――――――――――――――――――（9）
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