費(fèi)馬(Fermat，Pierre de Fermat) (1601～1665)法國數(shù)學(xué)家，對現(xiàn)代微積分的建立有所貢獻(xiàn)，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。”
◆對解析幾何的貢獻(xiàn)
費(fèi)馬獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理。
1629年以前，費(fèi)馬便著手重寫公元前三世紀(jì)古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼奧斯失傳的《平面軌跡》一書。他用代數(shù)方法對阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些失傳的證明作了補(bǔ)充，對古希臘幾何學(xué)，尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進(jìn)行了總結(jié)和整理，對曲線作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》。
費(fèi)馬于1636年與當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家梅森、羅貝瓦爾開始通信，對自己的數(shù)學(xué)工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費(fèi)馬去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到費(fèi)馬的工作，而現(xiàn)在看來，費(fèi)馬的工作卻是開創(chuàng)性的。
《平面與立體軌跡引論》中道出了費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)。他指出：“兩個(gè)未知量決定的—個(gè)方程式，對應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。”費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)比笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何的基本原理還早七年。費(fèi)馬在書中還對一般直線和圓的方程、以及關(guān)于雙曲線、橢圓、拋物線進(jìn)行了討論。
笛卡兒是從一個(gè)軌跡來尋找它的方程的，而費(fèi)馬則是從方程出發(fā)來研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個(gè)相反的方面。
在1643年的一封信里，費(fèi)馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，指出：含有三個(gè)未知量的方程表示一個(gè)曲面，并對此做了進(jìn)一步地研究。
◆對微積分的貢獻(xiàn)
16、17世紀(jì)，微積分是繼解析幾何之后的最璀璨的明珠。人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，并且在其之前，至少有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的發(fā)明做了奠基性的工作。但在諸多先驅(qū)者當(dāng)中，費(fèi)馬仍然值得一提，主要原因是他為微積分概念的引出提供了與現(xiàn)代形式最接近的啟示，以致于在微積分領(lǐng)域，在牛頓和萊布尼茨之后再加上費(fèi)馬作為創(chuàng)立者，也會(huì)得到數(shù)學(xué)界的認(rèn)可。
曲線的切線問題和函數(shù)的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項(xiàng)工作較為古老，最早可追溯到古希臘時(shí)期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾借助于窮竭法。由于窮竭法繁瑣笨拙，后來漸漸被人遺忘、直到16世紀(jì)才又被重視。由于開普勒在探索行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長的問題，無窮大和無窮小的概念被引入并代替了繁瑣的窮竭法。盡管這種方法并不完善，但卻為自卡瓦列里到費(fèi)馬以來的數(shù)學(xué)家開辟廠一個(gè)十分廣闊的思考空間。
費(fèi)馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻(xiàn)。
◆對概率論的貢獻(xiàn)
早在古希臘時(shí)期，偶然性與必然性及其關(guān)系問題便引起了眾多哲學(xué)家的興趣與爭論，但是對其有數(shù)學(xué)的描述和處理卻是15世紀(jì)以后的事。l6世紀(jì)早期，意大利出現(xiàn)了卡爾達(dá)諾等數(shù)學(xué)家研究骰子中的博弈機(jī)會(huì)，在博弈的點(diǎn)中探求賭金的劃分問題。到了17世紀(jì)，法國的帕斯卡和費(fèi)馬研究了意大利的帕喬里的著作《摘要》，建立了通信聯(lián)系，從而建立了概率學(xué)的基礎(chǔ)。
費(fèi)馬考慮到四次賭博可能的結(jié)局有2×2×2×2=16種，除了一種結(jié)局即四次賭博都讓對手贏以外，其余情況都是第一個(gè)賭徒獲勝。費(fèi)馬此時(shí)還沒有使用概率一詞，但他卻得出了使第一個(gè)賭徒贏得概率是15/16，即有利情形數(shù)與所有可能情形數(shù)的比。這個(gè)條件在組合問題中一般均能滿足，例如紙牌游戲，擲銀子和從罐子里模球。其實(shí)，這項(xiàng)研究為概率的數(shù)學(xué)模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎(chǔ)，盡管這種總結(jié)是到了1933年才由柯爾莫戈羅夫作出的。
費(fèi)馬和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數(shù)學(xué)期望的概念。這是從點(diǎn)的數(shù)學(xué)問題開始的：在一個(gè)被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個(gè)中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分，已知兩個(gè)博弈者在中斷時(shí)的得分及在博弈中獲勝所需要的分?jǐn)?shù)。費(fèi)馬這樣做出了討論：一個(gè)博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費(fèi)馬對此種特殊情況的解。因?yàn)轱@然最多四次就能決定勝負(fù)。
一般概率空間的概念，是人們對于概念的直觀想法的徹底公理化。從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機(jī)變量和數(shù)學(xué)期望時(shí)，它們就成為神奇的世界了。費(fèi)馬的貢獻(xiàn)便在于此。
◆對數(shù)論的貢獻(xiàn)
17世紀(jì)初，歐洲流傳著公元三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖所寫的《算術(shù)》一書。l621年費(fèi)馬在巴黎買到此書，他利用業(yè)余時(shí)間對書中的不定方程進(jìn)行了深入研究。費(fèi)馬將不定方程的研究限制在整數(shù)范圍內(nèi)，從而開始了數(shù)論這門數(shù)學(xué)分支。
費(fèi)馬在數(shù)論領(lǐng)域中的成果是巨大的，其中主要有：
費(fèi)馬大定理：n>2是整數(shù)，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數(shù)解。這個(gè)是不定方程，它已經(jīng)由美國數(shù)學(xué)家證明了(1995年)，證明的過程是相當(dāng)艱深的!
費(fèi)馬小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一個(gè)素?cái)?shù)，a是正整數(shù)，它的證明比較簡單。事實(shí)上它是Euler定理的一個(gè)特殊情況，Euler定理是說：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整數(shù)，φ(n)是Euler函數(shù)，表示和n互素的小于n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)(它的表達(dá)式歐拉已經(jīng)得出，可以在“Euler公式"這個(gè)詞條里找到)。
另外還有：
(1)全部素?cái)?shù)可分為4n+1和4n+3兩種形式。
(2)形如4n+1的素?cái)?shù)能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個(gè)平方數(shù)之和。
(3)沒有一個(gè)形如4n+3的素?cái)?shù)，能表示為兩個(gè)平方數(shù)之和。
(4)形如4n+1的素?cái)?shù)能夠且只能夠作為一個(gè)直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊;4n+1的平方是且只能是兩個(gè)這種直角三角形的斜邊;類似地，4n+1的m次方是且只能是m個(gè)這種直角三角形的斜邊。
(5)邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個(gè)平方數(shù)。
(6)4n+1形的素?cái)?shù)與它的平方都只能以一種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和;它的3次和4次方都只能以兩種表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和;5次和6次方都只能以3種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和，以此類推，直至無窮。
(7)發(fā)現(xiàn)了第二對親和數(shù)：17296和18416。
十六世紀(jì)，已經(jīng)有人認(rèn)為自然數(shù)里就僅有一對親和數(shù)：220和284。有一些無聊之士，甚至給親和數(shù)抹上迷信色彩或者增添神秘感，編出了許許多多神話故事。還宣傳這對親和數(shù)在魔術(shù)、法術(shù)、占星術(shù)和占卦上都有重要作用等等。
距離第一對親和數(shù)誕生2500多年以后，歷史的車輪轉(zhuǎn)到十七世紀(jì)，1636年，法國“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬找到第二對親和數(shù)17296和18416，重新點(diǎn)燃尋找親和數(shù)的火炬，在黑暗中找到光明。兩年之后，“解析幾何之父”——法國數(shù)學(xué)家笛卡爾](René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三對親和數(shù)9437506和9363584。費(fèi)馬和笛卡爾在兩年的時(shí)間里，打破了二千多年的沉寂，激起了數(shù)學(xué)界重新尋找親和數(shù)的波濤。
◆對光學(xué)的貢獻(xiàn)
費(fèi)馬在光學(xué)中突出的貢獻(xiàn)是提出最小作用原理，也叫最短時(shí)間作用原理。這個(gè)原理的提出源遠(yuǎn)流長。早在古希臘時(shí)期，歐幾里得就提出了光的直線傳播定律相反射定律。后由海倫揭示了這兩個(gè)定律的理論實(shí)質(zhì)——光線取最短路徑。經(jīng)過若干年后，這個(gè)定律逐漸被擴(kuò)展成自然法則，并進(jìn)而成為一種哲學(xué)觀念。—個(gè)更為一般的“大自然以最短捷的可能途徑行動(dòng)”的結(jié)論最終得出來，并影響了費(fèi)馬。費(fèi)馬的高明之處則在于變這種的哲學(xué)的觀念為科學(xué)理論。
費(fèi)馬同時(shí)討論了光在逐點(diǎn)變化的介質(zhì)中行徑時(shí)，其路徑取極小的曲線的情形。并用最小作用原理解釋了一些問題。這給許多數(shù)學(xué)家以很大的鼓舞。尤其是歐拉，競用變分法技巧把這個(gè)原理用于求函數(shù)的極值。這直接導(dǎo)致了拉格朗日的成就，給出了最小作用原理的具體形式：對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言，其質(zhì)量、速度和兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離的乘積之積分是一個(gè)極大值和極小值;即對該質(zhì)點(diǎn)所取的實(shí)際路徑來說，必須是極大或極小。