高中不等式知識點總結

時間：2024-08-26 08:09:02 學習總結我要投稿

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高中不等式知識點總結

　　在平日的學習中，是不是聽到知識點，就立刻清醒了？知識點是指某個模塊知識的重點、核心內容、關鍵部分。為了幫助大家更高效的學習，下面是小編收集整理的高中不等式知識點總結，希望能夠幫助到大家。

高中不等式知識點總結

　　一、知識點

　　1.不等式性質

　　比較大小方法：

　　(1)作差比較法

　　(2)作商比較法

　　不等式的基本性質

　　①對稱性：a > bb > a

　　②傳遞性: a > b, b > ca > c

　　③可加性: a > b a + c > b + c

　　④可積性: a > b, c > 0ac > bc;

　　a > b, c < 0ac < bc;

　　⑤加法法則: a > b, c > d a + c > b + d

　　⑥乘法法則：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

　　⑦乘方法則：a > b > 0, an > bn (n∈N)

　　⑧開方法則：a > b > 0,

　　2.算術平均數與幾何平均數定理：

　　(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(當且僅當a=b時等號)

　　(2)如果a、b∈R+,那么(當且僅當a=b時等號)推廣：如果為實數，則

　　重要結論

　　1)如果積xy是定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2;

　　(2)如果和x+y是定值S，那么當x=y時，和xy有最大值S2/4。

　　3.證明不等式的常用方法：

　　比較法：比較法是最基本、最重要的方法。當不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較法;當不等式的兩邊都是正數且它們的商能與1比較大小，則選擇作商比較法;碰到絕對值或根式，我們還可以考慮作平方差。

　　綜合法：從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式的性質推導出欲證的不等式。綜合法的放縮經常用到均值不等式。

　　分析法：不等式兩邊的聯系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉化，直到尋找到易證或已知成立的結論。

　　4.不等式的解法

　　(1) 不等式的有關概念

　　同解不等式：兩個不等式如果解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不等式。

　　同解變形：一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解變形。

　　提問：請說出我們以前解不等式中常用到的同解變形

　　去分母、去括號、移項、合并同類項

　　(2) 不等式ax > b的解法

　　①當a>0時不等式的解集是{x|x>b/a};

　　②當a<0時不等式的解集是{x|x

　　③當a=0時,b<0,其解集是R;b0, 其解集是ф。

　　(3) 一元二次不等式與一元二次方程、二次函數之間的關系

　　(4)絕對值不等式

　　|x|0)的解集是{x|-a

　　o o

　　-a 　 0 　 a

　　|x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，幾何表示為：

　　o o

　　-a 0 a

　　小結：解絕對值不等式的關鍵是-去絕對值符號(整體思想，分類討論)轉化為不含絕對值的不等式，通常有下列三種解題思路：

　　(1)定義法：利用絕對值的意義，通過分類討論的方法去掉絕對值符號;

　　(2)公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < -a;| f(x) | < a -a

　　(3)平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2;| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2;(4)幾何意義。

　　(5)分式不等式的解法

　　(6)一元高次不等式的解法

　　數軸標根法

　　把不等式化為f(x)>0(或<0)的形式(首項系數化為正)，然后分解因式，再把根按照從小到大的順序在數軸上標出來，從右邊入手畫線，最后根據曲線寫出不等式的解。

　　(7)含有絕對值的不等式

　　定理：|a| - |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

　　|a| - |b|≤|a+b|

　　中當b=0或|a|>|b|且ab<0等號成立

　　|a+b|≤|a| + |b|

　　中當且僅當ab≥0等號成立

　　推論1：|a1 + a2 + a3| ≤|a1 | +| a2 | + | a3|

　　推廣：|a1 + a2 +...+ an| ≤|a1 | +| a2 | +...+ | an|

　　推論2：|a| - |b|≤|a-b|≤|a| + |b|

　　二、常見題型專題總結：

　　專題一：利用不等式性質，判斷其它不等式是否成立

　　1、a、b∈R,則下列命題中的真命題是(　C )

　　A、若a>b，則|a|>|b| B、若a>b，則1/a<1/b

　　C、若a>b，則a3>b3　　　　　　　D、若a>b，則a/b>1

　　2、已知a<0.-1

　　A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>a

　　C、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a

　　3、當0

　　A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)b

　　C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b

　　4、若loga3>logb3>0，則a、b的關系是( B )

　　A、0a>1

　　C、0

　　5、若a>b>0，則下列不等式①1/a<1 a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是(　A )

　　A、①②③④　　B、①②③　　　C、①②　　　　D、③④

　　(二)比較大小

　　1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，則( A　)

　　A、ab　　　　　C、ab<1 ab="">2

　　2、a、b為不等的正數，n∈N，則(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符號是( C　)

　　A、恒正　　　　　　　　　　　　B、恒負

　　C、與a、b的大小有關　　　　　 D、與n是奇數或偶數有關

　　3、設1lg2x>lg(lgx)

　　4、設a>0,a≠1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。

　　分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測各式大小關系，然后用比較法(作差)即可。

　　(三)利用不等式性質判斷P是Q的充分條件和必要條件

　　1、設x、y∈R,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關系

　　⑴命題甲：x>0且y>0，　　命題乙：x+y>0且xy>0 充要條件

　　⑵命題甲：x>2且y>2，　　命題乙：x+y>4且xy>4　　　　　充分不必要條件

　　2、已知四個命題，其中a、b∈R

　　①a2

　　3、"a+b>2c"的一個充分條件是( C　)

　　A、a>c或b>c B、a>c或bc且b>c　　D、a>c且b

　　(四)范圍問題

　　1、設60

　　2、若二次函數y=f(x)的圖象過原點，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范圍。

　　(五)均值不等式變形問題

　　1、當a、b∈R時,下列不等式不正確的是( D　)

　　A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

　　C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

　　2、x、y∈(0,+∞)，則下列不等式中等號不成立的是( A　)

　　C、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2

　　3、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a21)(1/b21)的最小值為( D　)

　　A、6　　　　　　　B、7　　　　　　　C、8　　　　　　　D、9

　　4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c≥9

　　5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：

　　(六)求函數最值

　　1、若x>4,函數

　　5、大、-6

　　2、設x、y∈R, x+y=5，則3x+3y的最小值是(　)D

　　A、10　　　　　　B、　　　　　　C、　　　　　　D、

　　3、下列各式中最小值等于2的是(　)D

　　A、x/y+y/x B、 C、tanα+cotα D、2x+2-x

　　4、已知實數a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

　　5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

　　(七)實際問題

　　1、98(高考)如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2cm的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比，現有制箱材料60m2，問當a、b各為多少米時，沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小(A、B孔的面積忽略不計)。

　　解一：設流出的水中雜質的質量分數為y，

　　由題意y=k/ab，其中k為比例系數(k>0)

　　據題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)

　　由a>0,b>0可得0

　　令t=2+a，則a=t-2從而當且僅當t=64/t，即t=8,a=6時等號成立。∴y=k/ab≥k/18

　　當a=6時,b=3，

　　綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。

　　解二：設流出的水中雜質的質量分數為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(k>0)

　　要求y的最小值，即要求ab的最大值。

　　據題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30

　　即a=6,b=3時，ab有最大值，從而y取最小值。

　　綜上所述，當a=6m,b=3m時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。

　　2、某工廠有舊墻一面長14米,現準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126　　米2的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費用為a元;②修1米舊墻的費用為a/4元;③拆去1米舊墻用所得材料建1米新墻的費用為a/2元.經過討論有兩種方案：⑴利用舊墻的一段x(x<14)米為矩形廠房的一面邊長;⑵矩形廠房的一面長為x(x≥14).問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省?⑴⑵兩種方案哪種方案最好?

　　解：設總費用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長為x米，則另一邊長為126/x米。

　　⑴若利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14-x)?a/2元，其余的建新墻的費用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用　當且僅當x=12時等號成立，∴x=12時ymin=7a(6-1)=35a。

　　⑵若利用舊墻的一段x米(x≥14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為x?a/4元，建新墻的費用為(2x+ 2?126/x-14)?a元，故總費用

　　設f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，則f(x2)-f(x1)= x2+126/x2-(x1+126/x1)

　　=(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上遞增，∴f(x)≥f(14)

　　∴x=14時ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a

　　綜上所述，采用方案⑴，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。

　　(八)比較法證明不等式

　　1、已知a、b、m、n∈R+,證明：am+n+bm+n≥ambn+anbm

　　變：已知a、b∈R+,證明：a3/b+b3/a≥a2+b2

　　2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對任意實數p、q恒有a?f(p)+b?f(q)≥f(ap+bq)

　　(九)綜合法證明不等式

　　1、已知a、b、c為不全相等的正數，求證：

　　2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥1/3

　　3、已知a、b、c為不全相等的正數，且abc=1,求證：

　　4、已知a、b∈R+，a+b=1,求證：

　　(十)分析法證明不等式

　　1、已知a、b、c為不全相等的正數，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

　　2、已知函數f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求證：

　　3、設實數x,y滿足y+x2=0,0

　　(十一)反證法、放縮法、構造法、判別式法、換元法等證明不等式

　　1、設f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1/2。

　　2、若x2+y2≤1,求證|x2+2xy-y2|≤.

　　3、已知a>b>c,求證：

　　4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求證：.

　　5、已知a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號何時成立。

　　分析：整理成關于a的二次函數f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2

　　∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0

　　∴f(a)≥0

　　6、已知：x2-2xy + y2 + x + y + 1=0，求證：1/3≤y/x≤3

　　7、在直角三角形ABC中，角C為直角，n≥2且n∈N，求證：cn≥an + bn

　　(十二)解不等式

　　1、解不等式：

　　2、解關于x的不等式：

　　拓展

　　高中數學不等式的基本性質知識點

　　1.不等式的定義：a-bb, a-b=0a=b, a-b0a

　　① 其實質是運用實數運算來定義兩個實數的大小關系。它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據。

　　②可以結合函數單調性的證明這個熟悉的知識背景，來認識作差法比大小的理論基礎是不等式的性質。

　　作差后，為判斷差的符號，需要分解因式，以便使用實數運算的符號法則。

　　2.不等式的性質：

　　① 不等式的性質可分為不等式基本性質和不等式運算性質兩部分。

　　不等式基本性質有：

　　(1) abb

　　(2) acac (傳遞性)

　　(3) ab+c (cR)

　　(4) c0時，abc

　　c0時，abac

　　運算性質有：

　　(1) ada+cb+d。

　　(2) a0, c0acbd。

　　(3) a0anbn (nN, n1)。

　　(4) a0isin;N, n1)。

　　應注意，上述性質中，條件與結論的邏輯關系有兩種：“”和“”即推出關系和等價關系。一般地，證明不等式就是從條件出發施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價變換。因此，要正確理解和應用不等式性質。

　　② 關于不等式的性質的考察，主要有以下三類問題：

　　(1)根據給定的不等式條件，利用不等式的性質，判斷不等式能否成立。

　　(2)利用不等式的性質及實數的性質，函數性質，判斷實數值的大小。

　　(3)利用不等式的性質，判斷不等式變換中條件與結論間的充分或必要關系。

　　不等式的基本性質知識點的相關內容就是這些，希望考生可以深入理解，全面把握。

　　高中數學關于集合不等式和簡易邏輯知識點

　　重點知識歸納、總結

　　(1)集合的分類

　　(2)集合的運算

　　①子集，真子集，非空子集;

　　②A∩B={xx∈A且x∈B}

　　③A∪B={xx∈A或x∈B}

　　④ A={xx∈S且x A}，其中A S.

　　2、不等式的解法

　　(1)含有絕對值的不等式的解法

　　①x0) -a

　　x>a(a>0) x>a，或x<-a.

　　②f(x)

　　f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x).

　　③f(x)<g(x) [f(x)]2<[g(x)]2 [f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]<0.

　　④對于含有兩個或兩個以上的絕對值符號的絕對值不等式，利用“零點分段討論法”去絕對值. 如解不等式：x+3-2x-1<3x+2.

　　3、簡易邏輯知識

　　邏輯聯結詞 “或”、“且”、“非”是判斷簡單合題與復合命題的依據;真值表是由簡單命題和真假判斷復合命題真假的依據，理解好四種命題的關系，對判斷命題的真假有很大幫助;掌握好反證法證明問題的步驟。

　　(2)復合命題的真值表

　　非p形式復合命題的真假可以用下表表示.

　　p 非p

　　真假

　　假真

　　p且q形式復合命題的真假可以用下表表示.

　　p或q形式復合命題的真假可以用下表表示.

　　(3)四種命題及其相互之間的關系

　　一個命題與它的逆否命題是等價的.

　　(4)充分、必要條件的判定

　　①若p q且q p，則p是q的充分不必要條件;

　　②若p q且q p，則p是q的必要不充分條件;

　　③若p q且q p，則p是q的充要條件;

　　④若p q且q p，則p是q的既不充分也不必要條件.

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