【楊輝三角的來(lái)歷】
楊輝，字謙光，南宋時(shí)期杭州人。在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如上所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說(shuō)明此表引自11世紀(jì)中葉(約公元1050年)賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”。故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”。
元朝數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》(1303年)擴(kuò)充了“賈憲三角”成“古法七乘方圖”。
意大利人稱之為“塔塔利亞三角形”(Triangolo di Tartaglia)以紀(jì)念在16世紀(jì)發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的塔塔利亞。
在歐洲直到1623年以后，法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡在13歲時(shí)發(fā)現(xiàn)了“帕斯卡三角”。
布萊士·帕斯卡的著作Traité du trianglearithmétique(1655年)介紹了這個(gè)三角形。帕斯卡搜集了幾個(gè)關(guān)于它的結(jié)果，并以此解決一些概率論上的問(wèn)題，影響面廣泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亞伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡來(lái)稱呼這個(gè)三角形。
21世紀(jì)以來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó)，所以有些書上稱這是“中國(guó)三角形”(Chinese triangle)
歷史上曾經(jīng)獨(dú)立繪制過(guò)這種圖表的數(shù)學(xué)家
·賈憲中國(guó)北宋 11世紀(jì)《釋鎖算術(shù)》
·楊輝中國(guó)南宋1261《詳解九章算法》記載之功
·朱世杰中國(guó)元代 1299《四元玉鑒》級(jí)數(shù)求和公式
·阿爾·卡西阿拉伯 1427《算術(shù)的鑰匙》
·阿皮亞納斯德國(guó) 1527
·米歇爾`斯蒂費(fèi)爾德國(guó) 1544《綜合算術(shù)》二項(xiàng)式展開式系數(shù)
·薛貝爾法國(guó) 1545
·B·帕斯卡法國(guó) 1654《論算術(shù)三角形》
其實(shí)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁(yè)。
【楊輝三角性質(zhì)】
1、每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和。
2、每行數(shù)字左右對(duì)稱，由1開始逐漸變大。
3、第n行的數(shù)字有n項(xiàng)。
4、第n行數(shù)字和為2n-1。
5、第n行的第m個(gè)數(shù)和第n-m+1個(gè)數(shù)相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)(組合數(shù)性質(zhì)之一)
6、每個(gè)數(shù)字等于上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和。可用此性質(zhì)寫出整個(gè)楊輝三角。即第n+1行的第i個(gè)數(shù)等于第n行的第i-1個(gè)數(shù)和第i個(gè)數(shù)之和，這也是組合數(shù)的性質(zhì)之一。即。
7、第n行的m個(gè)數(shù)可表示為C(n-1,m-1)(n-1下標(biāo)，m-1上標(biāo))，即為從n-1個(gè)不同
元素中取m-1個(gè)元素的組合數(shù)。(見右圖)
組合數(shù)計(jì)算方法：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
8、(a+b)^n的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對(duì)應(yīng)楊輝三角的第(n+1)行中的每一項(xiàng)。[1]
9、將第2n+1行第1個(gè)數(shù)，跟第2n+2行第3個(gè)數(shù)、第2n+3行第5個(gè)數(shù)……連成一線，這些數(shù)的和是第4n+1個(gè)斐波那契數(shù);將第2n行第2個(gè)數(shù)(n>1)，跟第2n-1行第4個(gè)數(shù)、第2n-2行第6個(gè)數(shù)……這些數(shù)之和是第4n-2個(gè)斐波那契數(shù)。
10、將各行數(shù)字相排列，可得11的n-1(n為行數(shù))次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;細(xì)心的人可能會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)n≥5時(shí)會(huì)不符合這一條性質(zhì)，其實(shí)是這樣的：把第n行的最右面的數(shù)字"1"放在個(gè)位，然后把左面的一個(gè)數(shù)字的個(gè)位對(duì)齊到十位... ...，以此類推，把空位用“0”補(bǔ)齊，然后把所有的數(shù)加起來(lái)，得到的數(shù)正好是11的n-1次方。以n=11為例，第十一行的數(shù)為：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1;