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      小升初奧數知識之余數與同余

      時間:2024-07-19 08:52:04 小升初 我要投稿
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      小升初奧數知識之余數與同余

        一、同余的定義:

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        ①若兩個整數a、b除以m的余數相同,則稱a、b對于模m同余。

        ②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余,記作a≡b(mod m),讀作a同余于b模m。

        二、同余的性質:

        ①自身性:a≡a(mod m);

        ②對稱性:若a≡b(mod m),則b≡a(mod m);

        ③傳遞性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),則a≡ c(mod m);

        ④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),則a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m);

        ⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),則a×c≡ b×d(mod m);

        ⑥乘方性:若a≡b(mod m),則an≡bn(mod m);

        ⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整數c,則a×c≡ b×c(mod m×c);

        三、關于乘方的預備知識:

        ①若A=a×b,則MA=Ma×b=(Ma)b

        ②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

        四、被3、9、11除后的余數特征

        ①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和,則M≡n(mod 9)或(mod 3);

        ②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和,Y表示M的各個偶數數位上數字的和,則M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);

        五、費爾馬小定理:

        如果p是質數(素數),a是自然數,且a不能被p整除,則ap-1≡1(mod p)。

        余數及其應用

        基本概念:對任意自然數a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數,q叫做a除以b的不完全商。

        余數的性質:

        ①余數小于除數。

        ②若a、b除以c的余數相同,則c|a-b或c|b-a。

        ③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

        ④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

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