波浪增減水的數學模型及其數值模擬

波浪增減水的實用數學模型及其數值模擬

1　引言
　　波浪從深水向淺水傳播過程中，由于淺化變形，會在海岸附近發生波浪破碎．波浪破碎過程中將伴隨大量的能量損失，導致波高等波要素發生很大變化，從而在近岸區域出現明顯的增成水現象．自20世紀60年代以來，許多學者采用物理模型實驗和數學模型對波浪增減水現象進行了研究，取得了許多重要研究成果，但由于該現象的復雜性，目前對波浪增減水的模擬大多是先采用考慮能量損失的波能平衡方程得到波高分布，接著采用Longuet-Higgins和stewart原始輻射應力公式或其簡化公式計算輻射應力分量，最后采用深度平均的方程計算平均水位的變化（增減水）．對簡單地形，這種方法是十分有效的，但對復雜地形這種方法存在明顯不足，主要表現在：（1）考慮能量損失的波能平衡方程在用于二線問題時，需要采用其他方程計算波向，而復雜地形上的波向的求解十分困難，特別在焦散區附近更是如此；（2）直接采用Longuet-Higgins和Stewat原始公式計算輻射應力分量比較復雜，需要采用其他方程得到波浪水質點的速度、壓力及波面分布，其簡化公式只適用于簡單的純行進波，而且仍需采用其他方程計算出各點的波向，從而使這種比較常用的波浪增減水模型算法在復雜地形上的應用受到限制．為此，本文給出一種比較實用的波浪增減水數學模型．該模型首先采用考慮能量損失的拋物型緩坡方程得到域內的波浪復振幅分布，避免了波向的確定，接著采用筆者導出的一種新的輻射應力公式計算出輻射應力分量，最后采用深度平均的方程計算波浪破碎產生的增減水．從理論上說，本文方法可有效地用于復雜地形上的增減水問題，但由于缺少復雜地形上的增減水實測數據，因此模型的驗證是在簡單地形上進行的．采用該模型對規則波和不規則波破碎引起的增減水問題進行了數值模擬，并將數值結果和實測數據進行了比較，效果比較滿意．
2 數學模型
2．1 波浪復振幅數學模型。
　　考慮波能損失的拋物型緩坡方程為

式中，A為波浪復振幅；X為波浪主傳播方向；k為波數；為縱軸方向（y方向）上k的平均值；C為波相速;Cg為波群速;μ為非線性因子，可由Kirby和Dalrymple提出的非線性頻散模型確定;F＝（Df＋Db）/E，為能量損失因子，E＝pg|A|2/2，為波能，Df和Db分別為底摩擦和波浪破碎引起的能量損失，可采用下面的公式進行計算：

其中p為密度；

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