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等差、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用
【摘要】數(shù)列的相關(guān)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有相當(dāng)重要的位置，正確而熟練地掌握數(shù)列的性質(zhì)對(duì)于解決數(shù)列問(wèn)題有很大的幫助。
【關(guān)鍵詞】數(shù)列；性質(zhì)；運(yùn)用
【Abstract】The sequence related knowledge holds the quite important position in the high school mathematics teaching, correctly and grasps the sequence the nature to have the very big help skilled regarding the solution sequence question.
【Key words】Sequence; Nature; Using1. 對(duì)于等差數(shù)列{an}，任意兩項(xiàng)an、am的關(guān)系是：an=am+(n-m)d或am＝an＋（m－n）d
例：｛an｝為等差數(shù)列，已知a5=2,a3=1，求通項(xiàng)公式
解法一：∵an＝a1＋（n-1)d
∴a5＝a1＋4d＝2
a3＝a1＋2d＝1
解得a1＝0，d＝12
∴an＝a1＋（n-1)d=12(n-1)
解法二：由等差數(shù)列性質(zhì)可得：
a5＝a2＋2d
而a5＝2，a3＝1
∴2d＝1，d＝12
∴an＝a5＋（n－5）d＝2＋12（n－5）＝12（n－1）
第二種方法方便、快捷，而第二種方法恰恰是運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)。
2. 對(duì)于等差數(shù)列｛an｝來(lái)說(shuō)，如果m＋n＝p＋q（m、n、p、q都是正整數(shù))，那么就有am＋an＝ap＋aq
例：｛an｝為等差數(shù)列，已知a3＝5，a17＝11，求s19＝？
解法一：根據(jù)題意可得：
a3＝a1+2d=5………1
a17=a1+16d=11……2
②-①:14d=6,d=37
a1=297
∵sn=na1+n(n-1)d2
∴s19=19a1+19(19-1)d2
=19×297+19×182×37
=5517+5137=10647=152
解法二：
∵｛an｝為等差數(shù)列
∴sn=n(a1+an)2
s19=19(a1+a19)2=19(a3+a17)2=19(5+11)2=19×8=152
很顯然解法二非常快捷，計(jì)算量小。
3. ｛an｝為等比數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和，則有：sm,s2m-sn,s3m-s2m也成等比數(shù)列
例：已知等比數(shù)列｛an｝的前m項(xiàng)和sm＝10，前2m的和s2m=10，求s3m=?
解法一：①假設(shè)公比q=1時(shí)，sm=ma1=10,s2m=2ma2=30
顯然是矛盾的，因此公比q=1是錯(cuò)誤的
②公比q≠1,sm=a1(1-qm)1-q=10①
s2m=a1(1-q2m)1-q=10②
②÷①:1+qm=3qm=2
由①和qm=2可得:a11-q=-10
因此s3m=a1(1-q3m)1-q
=a1(1-qm)(1+qm+q2m)1-q
=10×(1-2)(1+2+4)
=10×7
=70
解法二：∵{an}是等比數(shù)列
∴sm,s2m-sm,s3m-s2m
即10,20,s3m-30也成等比數(shù)列
∴10（s3m-30)=202
∴s3m-30=40
s3m=70
兩種解法一對(duì)照，第二種方法太簡(jiǎn)便了。
綜上所述，數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用的確可以達(dá)到簡(jiǎn)捷運(yùn)算，化難為易的目的。
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