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各向異性介質(zhì)中的Maxwell方程離散化
各向異性介質(zhì)中的Maxwell方程離散化
2.1 電磁場(chǎng)基礎(chǔ)知識(shí)
2.1.1 電磁場(chǎng)的Maxwell方程
電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象并非是孤立的，它們是一矛盾統(tǒng)一體整體，麥克斯韋方程組成功完美地再現(xiàn)了宏觀電磁場(chǎng)交互變化的全部規(guī)律。在任意交變的電磁場(chǎng)中，麥克斯韋方程組[6]表達(dá)為：
（2.1.1.1）
它具有以下的特性：
A. 電磁場(chǎng)擾動(dòng)的傳播可以不依賴于電荷及電流而獨(dú)立存在。方程中的第一式和第三式，決定了磁場(chǎng)在其周圍激發(fā)渦旋性的變化磁場(chǎng)，而變化的磁場(chǎng)又在其周圍激發(fā)渦旋性的變化的電場(chǎng)，因此任何一處發(fā)生電磁擾動(dòng)，都會(huì)自動(dòng)地激發(fā)起緊鄰介質(zhì)中的電磁場(chǎng)，在這些如此繼續(xù)下去。因而，電磁擾動(dòng)的傳播是不依賴于電荷及電流而獨(dú)立存在的。
B．方程的完備性。若電磁場(chǎng)在體積V內(nèi)各點(diǎn)的初始值，及全部時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)在V的邊界上的值為已知，則任何時(shí)刻各點(diǎn)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程唯一確定，該性質(zhì)體現(xiàn)了麥克斯韋方程的完備性。
C．方程的一致性。方程組中第一式和第四式可以互相推導(dǎo)，兩式相一致。類似地第二式和第三式是一致的。
媒介中的電磁性質(zhì)方程，媒介中的電磁場(chǎng)分布除了與場(chǎng)源有關(guān)外，還決定于媒介的性質(zhì)。我們知道在恒定的場(chǎng)中，對(duì)于無(wú)限的均勻的各向同性的非鐵磁性介質(zhì)有
（2.1.1.2）
（2.1.1.3）
在導(dǎo)體中則有： 式子中分別為媒介的電導(dǎo)率、介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，均為坐標(biāo)函數(shù)。 是來(lái)自其它外來(lái)力的等效電場(chǎng)。
實(shí)際上，變化電磁場(chǎng)的頻率，以及介質(zhì)溫度的變化都會(huì)起到這些媒質(zhì)參數(shù)的變化，因而使得介質(zhì)中的變化電磁場(chǎng)求解問題變得十分復(fù)雜，通常為了反映問題的主要方面，可以忽略這些變化因素，從而假定這些參數(shù)都是不隨頻率、溫度和時(shí)間變化的。
2.1.2 Yee式網(wǎng)格
葉(Yee)式網(wǎng)格是用于解決直角網(wǎng)格中的矢量電磁場(chǎng)問題的一種方法。如圖(2.1.2.1)選取直角坐標(biāo)系XOYOZ，其中Ex、Ey、Ez、分別是為E在各坐標(biāo)上的投影，Hx、Hy、Hz則分別是H在各坐標(biāo)軸上的投影，可見葉(Yee)式網(wǎng)格為一空心的立方元，所涉及到的分量交替并存，并可注意到在葉(Yee)式網(wǎng)格中，電場(chǎng)分量總被指定在立方體的邊線中心，而磁場(chǎng)分量總被指定在立方體的面之中心。它顯示了麥克斯韋方程組中頭兩個(gè)方程表達(dá)式的電磁場(chǎng)相互作用的特征關(guān)系。
圖2.1葉（Yee）式網(wǎng)格圖
2.2 Maxwell方程的離散化
2.2.1各向同性介質(zhì)中Maxwell方程的Yee式網(wǎng)格離散化
在離散化過(guò)程中，三維介質(zhì)離散成正六面體單元，每個(gè)單元為一個(gè)各向同性均勻電性體。將離散電場(chǎng)分量定義在正六面體單元邊的中點(diǎn)，離散磁場(chǎng)分量定義在正六面體單元每個(gè)側(cè)面面元的中心，如圖（2.1）所示。
假設(shè)場(chǎng)的時(shí)間變化為 , 其中 , 是圓頻率，頻率域中的Maxwell 方程[7]為：
. (2.2.1.1)
(2.2.1.2)
式中 是磁導(dǎo)率， 是各向同性電導(dǎo)率； 表示電場(chǎng)， 表示磁場(chǎng)； 是電流密度。
對(duì)式子(2.2.1.1)兩邊取旋度得：
代入式子(2.2.1.2)整理得：
(2.2.1.3)
把 分為背景場(chǎng) 和二次場(chǎng) ，即 代入式子(2.2.1.3)整理得：
(2.2.1.4)
又因： 代入式子(2.2.1.4)整理得：
(2.2.1.5)
由：
(2.2.1.6)
為了簡(jiǎn)化書寫，將 中的下標(biāo)“ｓ”省去，將式子(2.2.1.6)代入式子(2.2.1.5)
得電場(chǎng)的三個(gè)分量方
(2.2.1.7a)
(2.2.1.7b)
(2.2.1.7c)
分別對(duì)上述三式離散化：
以方程(2.2.1.7a)為例導(dǎo)出場(chǎng)分量的離散化方程。按圖（2.2.1.1）的場(chǎng)分布離散化，式子(2.2.1.6)右端第一個(gè)分量式得到：
（2.2.1.8）
（2.2.1.9）
把上式代入方程(2.2.7a)整理的：
式中, , 是相鄰網(wǎng)格長(zhǎng)度的平均值;其他兩個(gè)分量的離散化關(guān)系式可輪換下腳標(biāo)和坐標(biāo)變量得到。
2.2.2各向異性介質(zhì)中Maxwell的方程Yee式網(wǎng)格離散化
在離散化過(guò)程中，三維介質(zhì)離散成正六面體單元，每個(gè)單元為一個(gè)各向異性均勻電性體。同上將離散電場(chǎng)分量定義在正六面體單元邊的中點(diǎn)，離散磁場(chǎng)分量定義在正六面體單元每個(gè)側(cè)面面元的中心，如圖（2.1）所示。
假設(shè)場(chǎng)的時(shí)間變化為 , 其中 , 是圓頻率，頻率域中的Maxwell 方程[7,8,9]為
， (2.2.2.1)
， (2.2.2.2)
， (2.2.2.3)
式中 是磁導(dǎo)率，等于 ； 是各向異性電導(dǎo)率； 表示電場(chǎng)， 表示磁場(chǎng)； 和 分別是電流密度和磁流密度。
下邊以磁偶極子 ( 和 ) 為例導(dǎo)出Maxwell方程的離散化形式。由(2.2.2.1)和(2.2.2.2)得到二階電場(chǎng)矢量的Helmholtz方程，在似穩(wěn)態(tài)條件下有
， (2.2.2.3)
為了便于處理源點(diǎn)附近的奇異性、開放區(qū)域的邊界條件以及源為有限大小時(shí)的情形，將總場(chǎng) 分離成背景場(chǎng) 和二次場(chǎng) ，即
， (2.2.2.4)
若設(shè) 為背景介質(zhì)的電導(dǎo)率，由式(2.2.2.4)代入式(2.2.2.3)得
(2.2.2.5)
其中： 代入式(2.2.5)整理得：
(2.2.2.6)
將式子（2.2.2.6）分解成場(chǎng)的三個(gè)分量。在下邊的分析中，為了簡(jiǎn)化書寫，將 中的下標(biāo)“s”省去。將旋度算子 式(2.2.1.5)代入式(2.2.2.6) 得到電場(chǎng)的三個(gè)分量的方程:
(2.2.2.7a)
，
(2.2.2.7b)
，
(2.2.2.7c)
式中 ， 和 分別為電導(dǎo)率在 三個(gè)方向上的值； ， 和 分別為背景場(chǎng) 在 三個(gè)方向上的分量。
對(duì)方程 (2.2.2.7a)-(2.2.2.7c) 按圖(2.2.1.1)的場(chǎng)分布離散化，以式子(2.2.2.7a)為例：
首先離散化其中的式子： (2.2.2.8)
離散原理：
以下在分別把式子(2.2.2.8)其中各項(xiàng)結(jié)合Yee式交錯(cuò)網(wǎng)格進(jìn)行離散化：
A: 結(jié)合圖(2.2)對(duì)下式進(jìn)行分解
圖2.2 離散Ex網(wǎng)格圖
;
;
B: 結(jié)合圖(2.3)對(duì)下式進(jìn)行分解
圖2.3 離散Ey網(wǎng)格圖
;
;
C: 結(jié)合圖(2.4)對(duì)下式進(jìn)行分解
圖2.4 離散Ez網(wǎng)格圖
；
最后，把式子(2.2.1.8)和(2.2.1.9)以及上面離散化的式子共同代入式子(2.2.2.7a)
整理得：
式中, , 是相鄰網(wǎng)格長(zhǎng)度的平均值，其他兩個(gè)分量的離散化關(guān)系式可輪換下腳標(biāo)和坐標(biāo)變量得到。
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