勾股定理是數(shù)學(xué)幾何中的一個(gè)定理，通俗的表述為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例，約有400種證明方法。
古埃及人在4500年前建造金字塔和測(cè)量尼羅河泛濫后的土地時(shí)，就廣泛地使用勾股定理。古巴比倫(公元前1800到1600年)的數(shù)學(xué)家也提出許多勾股數(shù)組。數(shù)學(xué)史上普遍認(rèn)為最先證明這個(gè)定理的是畢達(dá)哥拉斯，所以很多數(shù)學(xué)書上把此定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理。中國古代稱直角三角形的直角邊為勾和股，斜邊為弦，故此定理稱為勾股定理。
勾股數(shù)組 (a,b,c)叫做勾股數(shù)組,當(dāng)整數(shù)a,b,c滿足a^2+b^2=c^2這個(gè)條件時(shí).
容易看出，勾股數(shù)組源于勾股定理，是人們?yōu)榱私獬鰸M足勾股定理的不定方程的所有整數(shù)解而創(chuàng)造的概念。
容易證明，(定理一)如果(a,b,c)是一勾股數(shù)組，則對(duì)于整數(shù)p,有(pa,pb,pc)是勾股數(shù)組，這叫做勾股數(shù)組的齊次性。
由定理一可以明確，我們比較關(guān)心的是a,b,c互質(zhì)的勾股數(shù)組，這樣的勾股數(shù)組叫作本原勾股數(shù)組，可以證明，本原勾股數(shù)組有無窮多個(gè)。
由a^2+b^2=c^2及a,b,c互質(zhì)可知，a,b必是一奇一偶，c必是奇。不妨設(shè)a為奇，則方程化為b^2=(c+a)(c-a),由c,a互質(zhì)可知，a-c和a+c互質(zhì)，從而方程可以化為(b/2)^2=(c+a)/2*(c-a)/2,令(c+a)/2=m^2,(c-a)/2=n^2 (m,n互質(zhì))，即可解出， a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2(m,n互質(zhì)，從而一奇一偶)，此即本原勾股數(shù)組公式
常見勾股數(shù)組：
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
15 112 113
8，15，17
12，35，37
20，21，29
20，99，101
48，55，73
60，91，109
如果將勾股定理中的次方換成三及更高次的就會(huì)得到一個(gè)令人驚訝的結(jié)論，雖然在二次方時(shí)有無窮多組正整數(shù)解，但在高于二次方時(shí)卻一組也沒有，這即是所謂的費(fèi)馬大定理，為了證明這個(gè)定理，人類花了三百五十八年的時(shí)間。
下面是100以內(nèi)的勾股數(shù)
i=3 j=4 k=5 i=5 j=12 k=13 i=6 j=8 k=10i=7 j=24 k=25 i=8 j=15 k=17 i=9 j=12 k=15 i=9 j=40 k=41
i=10 j=24 k=26 i=11 j=60 k=61 i=12 j=16 k=20 i=12 j=35 k=37 i=13 j=84 k=85 i=14 j=48 k=50
i=15 j=20 k=25 i=15 j=36 k=39 i=16 j=30 k=34 i=16 j=63 k=65 i=18 j=24 k=30 i=18 j=80 k=82
i=20 j=21 k=29 i=20 j=48 k=52 i=21 j=28 k=35 i=21 j=72 k=75 i=24 j=32 k=40 i=24 j=45 k=51
i=24 j=70 k=74 i=25 j=60 k=65 i=27 j=36 k=45 i=28 j=45 k=53 i=30 j=40 k=50 i=30 j=72 k=78
i=32 j=60 k=68 i=33 j=44 k=55 i=33 j=56 k=65 i=35 j=84 k=91 i=36 j=48 k=60 i=36 j=77 k=85
i=39 j=52 k=65 i=39 j=80 k=89 i=40 j=42 k=58 i=40 j=75 k=85 i=42 j=56 k=70 i=45 j=60 k=75
48 55 73 48 64 80 51 68 85 54 72 90 57 76 95 60 63 87 65 72 97
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