1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”在歐拉的定義中，就不強調函數要用公式表示了.由于函數不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函數.他認為：“函數是隨意畫出的一條曲線.”
當時有些數學家對于不用公式來表示函數感到很不習慣，有的數學家甚至抱懷疑態度.他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”.1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數.”在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞.
1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對于每一個x都有確定的值，并且隨著x一起變化.函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法.函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的.”這個定義指出了對應關系(條件)的必要性，利用這個關系，可以來求出每一個x的對應值.
1837年，德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數.”這個定義抓住了概念的本質屬性，變量y稱為x的函數，只需有一個法則存在，使得這個函數取值范圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式.這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便.因此，這個定義曾被比較長期的使用著.
自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受后，用集合對應關系來定義函數概念就是現在中學課本里用的了.
中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞.是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》(1895年)一書時，把“function”譯成“函數”的.中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思.李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數.”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量.這個定義的含義是：“凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數.”所以“函數”是指公式里含有變量的意思.
