立體幾何教學中空間想象能力的培養

時間：2024-09-21 22:01:54 論文范文我要投稿

立體幾何教學中空間想象能力的培養

       立體幾何課程教學的主要任務是培養學生的空間想象能力．所謂空間想象能力是指對客觀事物的空間圖形進行觀察、分析和抽象的思維能力．在教學中為能達到培養學生的空間想象能力，教師可根據新課標的立體幾何教學要求，依照學生智力的發展水平，循序漸進地培養學生如下幾方面能力：
        一、培養識圖能力
        在立體幾何的概念、定理、性質、判定等的教學中，我們需要大
量的基本圖形或基本例子來展示概念或定理的內涵，把理論與實際聯系起來，培養學生從復雜的圖形中抽象為簡單基本的圖形的能力，這種做法不僅可以發展觀察力、想象力，而且可以進一步調動學生的興趣和加強對空間圖形的理解．
        １.模型演示．
        在立體幾何教學中我們可以利用一些正方體、平行六面體、錐體、圓柱體等模型或自制一些五棱柱、六棱柱等幾何體，并可備用表示平面的硬紙板和表示直線的一些鐵線或竹簽，學生或教師可現場利用模型演示空間中的線線、線面、面面位置關系，充分理解空間角、空間距離等概念，從具體到抽象，又從抽象到具體，使教學中的一些概念、定理等更加形象、直觀地表現出來．例如在講解異面直線的概念時，可用兩硬紙板作為平面α與β，兩根鐵線作為直線a、b，按圖⑴逐一演示，這樣就能把抽象的“不同在任何一個平面內的兩條直線”直觀地表現出來，達到深刻理解此概念的目的．

圖（１）
        ２.電腦輔助．
        采用投影儀和制作電腦課件輔助教學，使圖形的形成、變換、移動過程生動、形象直觀，從而加深學生對空間圖形的理解，以達到培養學生空間想象能力的目的．例如在講解三棱錐的體積公式時可制作一組課件，把三棱柱分割成三個三棱錐，以動態形式進行組合、分割，使學生從實體感性認識到三個等體積的三棱錐，從而培養學生對空間圖形的割補有個深刻的認識．又如在講解旋轉體時，我們也可把一些幾何體如雙曲面、橢圓面、馬鞍面等的形成過程，通過電腦直觀形象地表現出來，這樣既可以使學生形成對數學美的認識，又培養了學生對圖形的空間想象能力．
        二、培養繪圖能力
        空間圖形是立體幾何的特殊語言，學會繪圖是學生學好立體幾何的關鍵．因為構思繪制空間圖形的過程就是一種對表象加工、改進、重新組合的過程，即想象過程．正確表述圖形的內涵、勾畫出形象直觀的空間圖形，有利于對問題的證明或研究．
        １.基本圖畫技能．
        運用斜二測法可畫水平位置的多邊形直觀圖，能正確畫出正多面體、柱體、錐體、臺體的直觀圖，熟悉這些基本圖形的畫法是發展空間想象力的關鍵．對初學立體幾何者而言如何把自己想象中的空間圖形體現在平面上，是較困難的問題之一，所謂空間想象力差，實際上表現為畫出的圖形不像有立體感，不能表達出圖形各部分的位置關系及度量關系．因此，教師必須重視讓學生掌握畫立體圖形的直觀圖的步驟與方法，并能正確畫圖．
        ２.根據立體幾何的概念作圖．
        一般地，解立體幾何題分為三步驟：作圖、證明、計算．作圖中多涉及空間角、空間距離．要正確作出空間角或空間距離，必須引導學生對這些概念有深刻的了解、熟悉，這是解決問題的關鍵所在．
        ３.根據定理作圖．
        例：如圖⑶，在正方體ABCD-AˊBˊCˊDˊ中,M為AB的中點，N為BBˊ的中點，O為面BCCˊBˊ的中心．過O作一直線與AN交于P，與CM交于Q．
        分析：AN和CM是兩條異面直線，過O作直線要與AN和CM都相交，應在平面內來作，因此，可先由點O、A、N和O、C、M各確定一個平面α、β．注意平面α、β和平面ABCD兩兩相交，由定理可知三個面兩兩相交，其交線必平行或相交于一點．由條件可得面ABCD與平面α、平面β相交于一點，找出這一點是解題的突破口．
        解：由ON∥AD知，AD與ON確定一個平面α，又O、C、M三點確定一個平面β（如圖所示）．

        圖（２）
        ∵三個平面α、β和ABCD兩兩相交，有三條交線OP、CM、DA，其中交線DA與交線CM不平行且共面．
        ∴DA與CM必相交，記交點為Q，則OQ是α與β的交線．
        連結OQ與AN交于點P，與CM交于點Q，故OPQ即為所求作的直線．       引導學生根據定理作圖，使學生不但能記住定理的內容，且能充分認識此定理中的線線、線面、面面的關系，從而達到培養學生空間想象能力的目的．
        三、培養圖形變形處理的轉化能力
        幾何圖形千變萬化，例：線線、線面、面面可相互轉化，平面問題與空間問題相互轉化，對圖形可進行分割、補全、平移等變形處理．這些轉化使圖形的內涵更加豐富、生動、復雜化，解決如此類問題有利于學生空間想象能力的培養．
        四、培養數學信息的轉換能力
        空間想象力的最終目標是運用立體幾何知識解決有關問題，因此，需要進行信息處理和交流．數學信息交流通常有三種形式：文字信息、符號信息和圖形信息．若學生能對某個幾何問題準確地進行這三種數學信息相互轉換，則足以說明其空間想象能力和理解能力都得到了培養和提高．
        在立體幾何中，定理一般是用文字信息表述的，而要想給出證明，則需先將文字信息轉換成圖形信息，然后再轉換成符號信息，寫出已知、求證、證明過程．通過這三種信息的轉換，能有效地培養學生的空間想象力．例如，直線與平面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行．可以首先要求學生分別用三種信息敘述此定理，然后借助圖形信息分別用符號寫出已知、證明，再用文字信息口述證明過程．即文字信息→圖形信息→符號信息→文字信息．
文字信息：直線與平面平行的性質定理（略）
        圖形信息：（如圖）

        圖（３）
        符號信息：l∥α
          l⊂β  ⇒l∥m
        α∩β=m
        文字信息：l∥α⇒l和α沒有公共點
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒l和m沒有公共點
　　　　　　　　　　　　　　　m⊂α  　 l ⊂β
        m⊂β
        ⇒l∥m
         在立體幾何教學中，從以上四個方面對學生進行努力培養和訓練，必將迅速提高學生學習立體幾何的興趣，有效地培養學生的空間想象能力．這也正好實現了新課標的立體幾何課程教學的主要目的．

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