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試論基于Matlab的層次分析法與運(yùn)用
摘要:本文通過使用Matlab軟件進(jìn)行編程,在滿足同一層次中各指標(biāo)對所有的下級指標(biāo)均產(chǎn)生影響的假定條件下,實(shí)現(xiàn)了層次分析法的分析運(yùn)算。本程序允許用戶自由設(shè)定指標(biāo)層次結(jié)構(gòu)內(nèi)的層次數(shù)以及各層次內(nèi)的指標(biāo)數(shù),通過程序的循環(huán),用戶只需輸入判斷矩陣的部分?jǐn)?shù)據(jù),程序可依據(jù)層次分析法的計算流程進(jìn)行計算并作出判斷。本程序可以方便地處理層次分析法下較大的運(yùn)算量,解決層次分析法的效率問題,提高計算機(jī)輔助決策的時效性。
關(guān)鍵詞:Matlab層次分析法 判斷矩陣 決策
在當(dāng)前信息化、全球化的大背景下,傳統(tǒng)的手工計算已不能滿足人們高效率、高準(zhǔn)確度的決策需求。因此計算機(jī)輔助決策當(dāng)仁不讓地成為了管理決策的新工具、新方法。基于此,本文在充分發(fā)揮計算機(jī)強(qiáng)大運(yùn)算功能的基礎(chǔ)上,選用美國MathWorks公司的集成數(shù)學(xué)建模環(huán)境Matlab R2009a作為開發(fā)平臺,使用M語言進(jìn)行編程,對計算機(jī)輔助決策在層次分析法中的運(yùn)用進(jìn)行討論。試圖通過程序?qū)崿F(xiàn)層次分析法在計算機(jī)系統(tǒng)上的運(yùn)用,為管理決策探索出新的道路職稱論文。
1 層次分析法的計算流程
根據(jù)層次分析法的相關(guān)理論,層次分析法的基本思想是將復(fù)雜的決策問題進(jìn)行分解,得到若干個下層指標(biāo),再對下層指標(biāo)進(jìn)行分解,得到若干個再下層指標(biāo),如此建立層次結(jié)構(gòu)模型,然后根據(jù)結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造判斷矩陣,進(jìn)行單排序,最后,求出各指標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重系數(shù),進(jìn)行層次總排序。
1.1 構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型 在進(jìn)行層次分析法的分析時,最主要的步驟是建立指標(biāo)的層次結(jié)構(gòu)模型,根據(jù)結(jié)構(gòu)模型構(gòu)造判斷矩陣,只有判斷矩陣通過了一致性檢驗(yàn)后,方可進(jìn)行分析和計算。其中,結(jié)構(gòu)模型可以設(shè)計成三個層次,最高層為目標(biāo)層,是決策的目的和要解決的問題,中間層為決策需考慮的因素,是決策的準(zhǔn)則,最低層則是決策時的備選方案。一般來講,準(zhǔn)則層中各個指標(biāo)的下級指標(biāo)數(shù)沒有限制,但在本文中設(shè)計的程序尚且只能在各指標(biāo)具有相同數(shù)量的下級指標(biāo)的假定下,完成層次分析法的分析,故本文后文選取的案例也滿足這一假定。
1.2 建立判斷矩陣 判斷矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個因素的相對重要性的比較給判斷矩陣的要素賦值時,常采用九級標(biāo)度法(即用數(shù)字1到9及其倒數(shù)表示指標(biāo)間的相對重要程度),具體標(biāo)度方法如表1所示。
1.3 檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性 由于多階判斷的復(fù)雜性,往往使得判斷矩陣中某些數(shù)值具有前后矛盾的可能性,即各判斷矩陣并不能保證完全協(xié)調(diào)一致。當(dāng)判斷矩陣不能保證具有完全一致性時,相應(yīng)判斷矩陣的特征根也將發(fā)生變化,于是就可以用判斷矩陣特征根的變化來檢驗(yàn)判斷的一致性程度。在層次分析法中,令判斷矩陣最大的特征值為λmax,階數(shù)為 n,則判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)的指標(biāo)記為:
⑴
CI的值越大,判斷矩陣的一致性越差。當(dāng)階數(shù)大于2時,判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱為隨機(jī)一致性比率,其中RI的值由表2確定,CR的計算公式為:
⑵
當(dāng)CR0.1時,即可認(rèn)為判斷矩陣具有滿意的一致性。然而由于在為各指標(biāo)間相互重要性程度大小的判定過程中存在人為主觀因素,因此在判斷矩陣不能通過一致性檢驗(yàn)時,需要對各指標(biāo)間相互重要性程度重新進(jìn)行賦值,直至其通過矩陣一致性檢驗(yàn)。其最大特征值對應(yīng)的特征向量即為該指標(biāo)相對于上一級指標(biāo)的重要性排序。
1.4 進(jìn)行層次總排序 在通過層次單排序得出各指標(biāo)相對上一級指標(biāo)的重要性排序向量后,沿遞階層次結(jié)構(gòu)逐級依次由下往上進(jìn)行矩陣計算,則可得到各底層指標(biāo)對最高層的相對重要性權(quán)重,從而可對各底層指標(biāo)的優(yōu)先次序進(jìn)行排序,找出重點(diǎn)指標(biāo)并予以特別關(guān)注。
2 Matlab層次分析法程序設(shè)計思路
Matlab是矩陣實(shí)驗(yàn)室(Matrix Laboratory)的簡稱,是美國MathWorks公司出品的數(shù)學(xué)軟件,用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境。Matlab可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)圖像、設(shè)計算法、創(chuàng)建用戶界面、連接用其他編程語言編寫的程序等。Matlab以矩陣為計算單位, 采用M語言作為程序語言,與C語言有諸多相似之處,并可方便地與C/C++、Microsoft Excel等工具和軟件進(jìn)行結(jié)合并進(jìn)行代碼共享和數(shù)據(jù)交換,可以方便地進(jìn)行數(shù)值分析、圖像處理等功能,配合功能強(qiáng)大的統(tǒng)計和金融工具箱,Matlab已經(jīng)可以在概率統(tǒng)計、經(jīng)濟(jì)管理等方面發(fā)揮強(qiáng)大的作用。
筆者所編程序即是運(yùn)用Matlab豐富的函數(shù)、矩陣運(yùn)算和程序控制功能,探索其在層次分析法分析中的運(yùn)用。程序通過三層循環(huán)結(jié)構(gòu),按照表1所示的方法和規(guī)則,實(shí)現(xiàn)多個層次上各個判斷矩陣的輸入和生成,并可以通過計算它們的特征值,按照上述公式 ⑴、公式⑵和表2所示的方法進(jìn)行矩陣的一致性檢驗(yàn)。當(dāng)所有的判斷矩陣一致性檢驗(yàn)均通過后,程序?qū)Ω鲗哟螐南峦弦来斡嬎?最終得出各底層指標(biāo)相對于準(zhǔn)則層的權(quán)重系數(shù),從而有助于選擇最優(yōu)方案,程序流程如圖1所示,其中的平行四邊形表示輸入數(shù)據(jù),菱形表示判斷,根據(jù)判斷結(jié)果的不同出現(xiàn)2個分支。
程序中,用于生成判斷矩陣的部分程序如下:
for a=1:mp
for b=1:mp
A(b,b)=1;
if a fprintf(‘Line %i, Row %i“n‘,[a;b]);
A(a,b)=input(‘Please input the value: ‘);
A(b,a)=1/A(a,b);
end
end
生成層次總排序權(quán)重矩陣的部分程序如下:
for r=p-1:1
v=[‘vect=vect*vector‘ int2str(r)];
evalc(v)
end
fprintf(‘The final judging vector is:‘)
fprintf(‘“n%.4f‘,vect)
[m,maxpl]=max(vect);
fprintf(‘“n“nThe Scheme %i is the best solution.“n“n‘,maxpl)
其中,mp為該層內(nèi)的指標(biāo)數(shù),p為指標(biāo)的層數(shù),均在程序開始時由用戶指定;vect初始被賦值為空矩陣,經(jīng)循環(huán)后生成第一指標(biāo)層的判斷向量;m為vect向量的最大值,maxpl記錄該最大值所處的位置。
由于本程序結(jié)構(gòu)上的限制,本程序尚且只能在同一層次各個指標(biāo)均對所有下一層次指標(biāo)產(chǎn)生影響時處理層次分析法的問題,故本文舉例亦遵照該假定進(jìn)行。
3 應(yīng)用舉例
某市一十字路口常常因行人過街擁擠,存在安全隱患,市政部門欲對該路口進(jìn)行改造,現(xiàn)提出了3套改造方案:
方案1(S1):建地下通道;
方案2(S2):建人行天橋;
方案3(S3):拆除周圍的舊建筑,拓寬街面。
市政部門認(rèn)為,該改造工程需考慮如下幾個方面的指標(biāo):
指標(biāo)1(P1):通車能力的大小;
指標(biāo)2(P2):交通安全系數(shù)的高低;
指標(biāo)3(P3):建筑費(fèi)用的高低;
指標(biāo)4(P4):群眾出行方便度的大小;
指標(biāo)5(P5):市容整潔程度的高低。
現(xiàn)在需要就以上問題進(jìn)行決策,需決定在三套方案(S1~S3)中選用最優(yōu)方案。其主要步驟及操作如下所示。
第1步:根據(jù)題目建立層次結(jié)構(gòu)模型
由于題目要求對3套方案均需考慮5個指標(biāo),故可畫出如圖2所示的指標(biāo)體系結(jié)構(gòu)圖。
第2步:形成判斷矩陣
形成判斷矩陣,需要對各指標(biāo)相互的重要性進(jìn)行標(biāo)度,矩陣的上三角部分與下三角部分以對角線為分界,對稱呈倒數(shù)排列,對角線上元素均為1,因?yàn)楦髦笜?biāo)與自身的重要性為“同等重要”,不同的指標(biāo)A1對A2的重要性與A2對A1的重要性互為倒數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對圖2中各指標(biāo)相互的重要性進(jìn)行標(biāo)度后,可得如下幾個矩陣:
第3步:將以上各矩陣輸入程序,進(jìn)行計算
在Matlab的命令窗口依次按提示輸入表 3~表 8所示矩陣后,程序輸出結(jié)果經(jīng)整理如下表:
接著,程序?qū)Ω骶仃囉嬎闼玫淖畲筇卣髦祵?yīng)的特征向量按下式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化:
再給出各指標(biāo)的特征向量組成的矩陣:
進(jìn)而得出三套方案相對于目標(biāo)的權(quán)重向量為:
程序經(jīng)比較,發(fā)現(xiàn)方案1權(quán)重系數(shù)最大,進(jìn)而得出最終結(jié)論:方案1(地下通道)占優(yōu)。
4 總結(jié)及分析
本程序在運(yùn)行開始時,會要求用戶輸入指標(biāo)的層數(shù)和第一層的指標(biāo)數(shù),在每一個層次的矩陣元素輸入完成后,程序會要求用戶輸入下一個層次中的指標(biāo)數(shù),因此本程序可進(jìn)行無限個層次的迭代運(yùn)算。當(dāng)然,程序只能替代層次分析法的運(yùn)算部分,由于對判斷矩陣賦值具有主觀性,常常需要通過其他的方法進(jìn)行確定,如 Delphi方法等。在把設(shè)定好的判斷矩陣輸入程序進(jìn)行運(yùn)算時,程序可以保證矩陣運(yùn)算的精度和效率,在對代碼進(jìn)行優(yōu)化和擴(kuò)展后,還可以將過程與結(jié)果數(shù)據(jù)導(dǎo)出到Excel和Eviews,以方便進(jìn)行后續(xù)的數(shù)據(jù)整理和計量分析。
另外,如前所述,本程序存在一個局限,即需要在滿足同一層次內(nèi)各指標(biāo)對所有下一層次指標(biāo)均產(chǎn)生影響的假定時才能正確運(yùn)行。筆者將在今后對程序進(jìn)行進(jìn)一步的完善,提升其功能和易用性,使其能滿足不同類型、不同條件下的層次分析法分析,在日常生活的計算機(jī)輔助決策領(lǐng)域發(fā)揮更大的作用。
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王翼,王歆明.MATLAB基礎(chǔ)及在經(jīng)濟(jì)學(xué)與管理科學(xué)中的應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009,7.
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