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外匯期權(quán)二項(xiàng)式定價(jià)公式推導(dǎo)及經(jīng)濟(jì)涵義
期權(quán)交易是八十年代以來國際市場頗具特色的合同交易，其最基本用途是為了轉(zhuǎn)移利率和匯率變動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)，最大特點(diǎn)是在保留從有利價(jià)格變動(dòng)中獲取收益可能性的同時(shí)，也防止了不利價(jià)格變動(dòng)可能帶來的更大損失。另外，期權(quán)是許許多多有價(jià)證券、金融工具的建筑砌塊，因此無論怎樣強(qiáng)調(diào)期權(quán)定價(jià)的重要性都不過分。 Black─Scholes（1973）假設(shè)股票價(jià)格的對(duì)數(shù)變化遵循Wiener-Levy過程，建立一個(gè)使用期權(quán)、股票的無風(fēng)險(xiǎn)套期保值資產(chǎn)組合，導(dǎo)致一個(gè)偏微分方程式，解一個(gè)熱力學(xué)擴(kuò)散方程，得到期權(quán)價(jià)格解析解，即著名的不支付紅利的歐式股票Call期權(quán)定價(jià)公式；Garman與Kohlhagen（1983）及Grabbe（1983）等人基于同樣思路，建立一個(gè)使用期權(quán)、國內(nèi)貨幣債券和國外貨幣債券的無風(fēng)險(xiǎn)套期保值資產(chǎn)組合，得到歐式外匯Call期權(quán)定價(jià)公式，以上都要使用較多的隨機(jī)過程及解偏微分方程的知識(shí)。期權(quán)定價(jià)的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein（1979）使用二項(xiàng)式分布得出的變動(dòng)概率代替價(jià)格對(duì)數(shù)變化遵循Wiener-Levy過程的假設(shè)，利用代數(shù)知識(shí)得出一般的歐式和美式期權(quán)定價(jià)公式，隨后Geske和Johnson（1984）推導(dǎo)出美式期權(quán)定價(jià)精確解析式。本文目的一是通過二項(xiàng)式定價(jià)公式推導(dǎo)過程，進(jìn)一步解釋推導(dǎo)中假設(shè)條件的涵義；二是給出可適用于各類期權(quán)計(jì)算思路及結(jié)論。 首先，利用期權(quán)拋補(bǔ)的利率平價(jià)關(guān)系得到單周期外匯Call期權(quán)二項(xiàng)式定價(jià)公式；其次，給出一般表達(dá)式。 一、期權(quán)拋補(bǔ)的利率平價(jià)關(guān)系 由于國際外匯市場與國際貨幣市場通過廣義利率平價(jià)關(guān)系聯(lián)系在一起，與遠(yuǎn)期拋補(bǔ)利率平價(jià)（forward-cover IRP）類似，貨幣期權(quán)市場也給出另一種期權(quán)拋補(bǔ)利率平價(jià)（option-cover IRP）關(guān)系，以下就根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合（即套利）過程，不考慮傭金因素，單周期二項(xiàng)式即期價(jià)格分布推導(dǎo)Call期權(quán)價(jià)格計(jì)算公式。設(shè) S＝周期初即期匯率，以每一個(gè)外幣相當(dāng)于若干本幣來表示 Co＝周期初外幣Call期權(quán)價(jià)格 X＝執(zhí)行價(jià)格，以每一個(gè)外幣相當(dāng)于若干本幣來表示 t＝單周期Call期權(quán)有效期，單位：年 r＝本幣無風(fēng)險(xiǎn)利率，單位：％p.a. f＝外幣無風(fēng)險(xiǎn)利率，單位：％p.a. St＝期末的即期匯率 第一步：根據(jù)二項(xiàng)式價(jià)格分布涵義，設(shè)將來（單周期末的）即期匯率只有uS和dS兩個(gè)值，看一看周期末即期匯率分布和外幣Call價(jià)值分布： 不失一般性，可假設(shè) u＞d＞0 （1） 當(dāng)即期匯率從期初S升值到期末St＝uS，則此時(shí)外幣Call價(jià)值 Cu＝max{0，uS－X}≥0 （2） 當(dāng)即期匯率從期初S貶值到期末St＝dS，則此時(shí)外幣Call價(jià)值 Cd＝max{0，dS－X}≥0 （3） 根據(jù)期權(quán)性質(zhì)，Co≥0 （4） 以上條件也就是推導(dǎo)期初Call價(jià)值計(jì)算公式時(shí)所依據(jù)的邊界條件。從期初到期末匯率分支如圖1，外幣Call價(jià)值分支如圖2.期初即期匯率 期末即期匯率 期初Call權(quán) 期末Call權(quán)│ │ 價(jià)值 價(jià)值
│ ↓ │ ↓
↓ φ uS ↓ Cu＝max{0,uS－X} S Co 1－φ dS Cd＝max{0,dS－X} 圖1 單周期即期匯率二項(xiàng)式分支圖 圖2 外幣Call價(jià)值二項(xiàng)式分支圖 第二步：利用Call期權(quán)與其它金融工具構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)套期保值資產(chǎn)組合（即該期權(quán)組合保持δ中性）。構(gòu)造該無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的關(guān)鍵是推導(dǎo)出該組合中現(xiàn)貨市場金融工具（如外幣債券）數(shù)量與該周期內(nèi)期權(quán)數(shù)量的套期比率H（Hedging Ratio）。 假設(shè)某投資者周期末持有一單位外幣債券多頭和H個(gè)外幣Call期權(quán)空頭，那么，首先要求出以本幣衡量的套期保值組合的期末價(jià)值Vt，其結(jié)果參見表1. 表1 套期保值組合的總期末價(jià)值（以本幣衡量）
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