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論低密度校驗碼的研究
論文關鍵詞: 低密度校驗(LDPC) 碼 研究進展論文摘要: 低密度校驗碼（Low Density Parity Check Codes，LDPC codes）是當前編碼理論領域研究最熱的信道編碼之一。本文介紹了LDPC 碼的概念及其性能，并對低密度校驗碼應用的現狀和今后方向作出了展望。
一、LDPC碼簡述
低密度校驗(LDPC)碼又稱為哥拉格(Gallager)碼,它是哥拉格于1962年提出的一種性能接近香農(Shan2non) 限的好碼。在很長的一段時間里,LDPC碼并未受到人們的重視。直到1993 年,Berrou 等提出了Tur2bo碼后,人們研究發現Turbo 碼其實就是一種LDPC碼,LDPC碼又重新引起了人們的研究興趣。1996 年,MacK2ay的研究,使LDPC碼的研究跨入了一個新的階段. 最近幾年的研表明,在非規則圖上構造的基于GF(q)域上的LDPC碼性能要好于Trubo 碼,它的性能非常接近香農限。LDPC碼是根據稀疏隨機圖來構造的,因而它的碼子之間具有很好的碼距離。LDPC碼屬于線性糾錯碼,它的校驗矩陣是一個稀疏校驗陣:每個碼子滿足一定數目的線性約束,而約束的數目通常是非常小的是約束數目為3 的校驗矩陣)。同時由于LDPC碼的約束是由一個稀疏圖定義的,因而使得它的譯碼變得較為容易。目前,LDPC碼已經成為編碼領域的一個新的研究熱點。
二、LDPC碼的性能分析
LDPC碼的譯碼性能分析方法主要可以歸納為三類：1）密度進化（Density Evolution）理論。2）高斯近似（Gaussian Approximation）；3）EXIT 表（Extrinsic Information Transform Chart）。
1. 密度進化
LDPC碼的和積譯碼算法或BP算法中，信息在變量節點和校驗節點之間不斷迭代傳遞的，每次迭代傳遞的信息是隨機變量。在這種迭代譯碼中，存在一種閾值現象，即在信道噪聲水平低于某個閾值時，隨著碼長趨向于無窮大時，碼的BER 可以任意逼近零，否則錯誤概率將大于一個正常數。最早由Gallager利用組合和概率理論對和積譯碼算法下碼的誤碼率進行了理論分析并觀察了二進制對稱信道（BSC）的閾值現象，提出跟蹤LDPC 碼迭代傳遞的外信息的概率分布來分析譯碼器的收斂行為，即對于每次迭代計算節點的輸出誤比特率，輸出誤比特率是本次迭代輸入誤比特率的函數，每次迭代的平均誤比特率可以通過變量節點和校驗節點之間傳遞的信息的概率密度函數得到。Luby etal將這種分析思想應用到LDPC碼的硬判決譯碼中，在二進制刪除信道（BEC）中譯碼過程同樣存在這種閾值現象，利用隨機構造的非規則LDPC 碼可以改進閾值，非規則LDPC 碼的性能優于規則LDPC碼。Richardson和Urbanke在Gallager 和Luby的工作基礎上將對LDPC 碼的譯碼算法的分析方法擴展到更一般的信道模型。在給定的信道模型下，假設基于二分圖的LDPC是無環的，或在設定的迭代次數和校驗矩陣足夠大的情況下，信息節點在深度為2的鄰域內為樹狀結構，那么在節點之間迭代的信息是獨立同分布的隨機變量。Richardson等人分析了這些傳遞信息的概率密度的進化情況，發現在和積譯碼算法的每次迭代信息傳遞中出現錯誤信息的部分可以遞歸地表示成LDPC碼的度分布序列和信道參數的函數。迭代計算節點間傳遞信息的概率密度函數的方法就稱為密度進化。Richardson等在進一步的研究中表明描述節點間傳遞的錯誤信息的概率是一種稱為Martingale 的隨機過程，在和積譯碼算法下信息的平均錯誤概率集中在它的期望值周圍，當碼長趨向于無窮時，基于有環二分圖的LDPC碼的譯碼性能逼近無環時的行為。
2.高斯近似。利用密度進化理論來計算閾值和尋找好的度數分布的算法復雜度是相當大的，特別對于信息概率密度函數是多維的信道來說，密度進化算法就過于復雜而難以處理。為提高密度進化算法的計算速度，Chung等人采用高斯近似的方法，即根據中心極限定理可以近似認為節點間迭代的信息的概率密度函數是符合高斯分布的，這樣將迭代計算的多維問題轉化為更新高斯密度均值的一維問題，就大大簡化了分析和計算信道參數閾值的復雜度，而且可以快速的搜索和優化非規則LDPC碼。這樣可以將信道閾值的計算由多維參數動態系統的密度進化理論模型轉化為單一參數（均值）動態系統的高斯逼近模型，在只需要犧牲很小的精度就可以得到計算維數上的巨大降低，從而可以很快計算出閾值和優化度序列的分布。高斯近似是一個很好的分析工具，被很多關于迭代譯碼性能分析中所采用。如利用混合的高斯近似方法來對基于LDPC 碼的MIMO-OFDM 系統進行譯碼分析、尋找好的度分布以及優化系統的性能。
3. EXIT表。EXIT表（Extrinsic Information Transfer Chart）是由S. ten Brink提出的一種用迭代譯碼器之間傳輸的外部信息來表征迭代譯碼中收斂行為的分析工具。對于串/并行級聯碼，EXIT表技術是跟蹤分量碼之間信息交換（互信息）的情況來估計譯碼器的收斂性，并且可以分析影響譯碼算法收斂性的因
素(如分量碼的選擇等)，適當地改變這些影響因素可以優化系統的性能。S. ten Brink 等人[56]將EXIT表技術引入到LDPC 碼譯碼分析中，即把LDPC 碼的譯碼過程可以看作是變量節點譯碼器和校驗節點譯碼器之間外部信息的迭代，用EXIT 表跟蹤譯碼器之間的互信息傳遞來估計LDPC 碼和積譯碼算法的收斂性。文獻[56]中還給出了在不同的信道模型下（AWGN，MIMO 等信道）利用EXIT 表技術來計
算信道閾值和尋找好的度分布序列，從而優化系統的性能。
三、LDPC碼的應用及展望
1996年，Mackey和Neal重新研究了LDPC碼后，研究人員發現LDPC碼具有很多非常好的特點，如能夠逼近香農信道容量，描述及實現簡單，易于進行理論分析和研究，譯碼簡單且易于實現等。近年來，LDPC碼以其優異的性能和良好的應用前景受到研究人員的關注，成為編碼理論界的一大亮點和熱點。目前，LDPC碼可以應用于深空、衛星通信，光纖通信、ADSL、磁記錄設備及無線局域網等領域。LDPC碼今后的研究主要集中在: ⑴現有的可信迭代譯碼方法還比較復雜,尋找LDPC碼的線性時間譯碼算法將成為一個重要的課題。⑵對于非規則圖設計的研究,尋找獲得最優的序列λ和ρ的方法,以得到較好的碼結構,提高LDPC碼的性能。⑶繼續探討LDPC碼在通信和領域的應用。目前已有人將它的糾刪方法應用于計算機通信網中,用于恢復在傳輸中丟失的數據,獲得了很好的效果。今后將會加強這方面的研究工作。目前，LDPC碼研究領域的主要工作集中在譯碼算法的性能分析、編碼方法、碼的優化算法等方面。經研究人員的努力，LDPC編碼領域取得很大進展，但仍有許多問題需要研究：
• LDPC碼校驗矩陣的構造。盡管在構造最優的LDPC碼方面取得了一些進展，但目前還沒有一套系統的辦法來構造所需要的好碼，特別是在碼字長度有限、碼率一定的條件下，構造性能優異的好碼是一個非常具有挑戰性的課題。這方面的研究可以借助有限域理論、圖論等相關理論。
• LDPC編碼系統的聯合優化設計。將編碼技術與調制技術、空時編碼技術、OFDM結合進行性能優化是當前及將來的發展方向之一。 ．
• 無線衰落信道及MIMO信道下LDPC碼的性能分析方法及優化設計準則。目前LDPC碼字的優化設計主要在加性高斯白噪聲信道下得到的，而無線衰落信道下，特別是時變信道下碼字的性能分析方法、優化設計準則和信道估計的影響也是非常關鍵的課題，需要進一步的研究探索。
• 尋找適合硬件實現的編譯碼方法也是一個非常值得研究的課題。
參考文獻:
[1]王新梅,肖國鎮.糾錯碼—原理與方法[M].西安:西安科技大學出版社.1998.
[2]陳軍,孫韶輝,王新梅.基于A3算法的快速軟判決譯碼[J ].西安電子科技大學報.2000.27.(2)
[3]白寶明,馬嘯,劉豐.三維Turbo碼的設計與性能分.[J ].西安電子科技大學學報.1998 .25.(5).
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