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淺析地圖投影變形的表現
論文關鍵詞：地圖投影 投影變形
論文摘要：地圖投影變形表現為長度變形，角度變形和面積變形，而在表達上，我們可以從正形投影，等積投影，非正形非等級投影來分析。
Abstract：Projection deformation is shown for length deformation, angular distortion express is listed in with covering an area of deformation, but, we can from rectifying shape projection , equivalence projection, be not that the shape must analyse coming grade projection exactly.
Key Words：Projection; Projection deformation
引言
將地球的球面展為平面，也就是將地球上的點一一畫在平面上，需要用坐標，直角坐標和極坐標來表示，我們要采用一定的方法來確定這些坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間對應關系的數學方法稱為地圖投影。用地圖投影的方法將球面展為平面，雖然可以保持圖形的完整和連續，但它們與球面上的經緯網形狀并不完全相似。本文基于投影過程中產生的變化來進行全面的探討和研究。
1.地圖投影的概念
地球表面是球面，而地圖通常是繪制在平面圖紙上，因此制圖時首先需要把球面展為平面。但是球面是個不可展的球面，這就是說，若把它直接展為平面，必然發生破裂或褶皺。所以必須采用特殊的方式將球面展開，使其成為既不破裂又無褶皺的平面。
在我們學習測量的時候，已經知道，測圖時只要測出點位，點可以連成線，線可以連成面，就能畫出平面圖。那么，將球面展為平面，也就是將地球上的點一一畫在平面上。由于地球表面上任一點的位置是用地理坐標來表示的，而平面上點的位置用直角坐標或極坐標表示。因此就要采用一定的數學方法來確定這些坐標之間的關系。這種在球面和平面之間建立點與點之間對應關系的數學方法稱為地圖投影。
因為地球表面上任一點的位置決定于它的經緯度，所以實際投影時是將球面上的經緯線交點展繪在平面上，再將相同經度的連成經線，相同緯度的連成緯線，有了經緯網以后，就能將整個或部分地球表面上的圖形按相應位置表示在平面上了。由此看來，經緯網是繪制地圖的基礎，它是地圖的主要數學要素。
2.地圖投影的變形
2.1變形的概念
地圖投影的方法很多，用不同的投影方法得到的經緯網形狀是不同的。用地圖投影的方法將球面展為平面，雖然可以保持圖形的完整和連續，但它們與球面上的經緯網形狀并不完全相似。為了制作地圖，需要將地球體這個不可展的曲面展為平面，從而不可避免的造成破裂或重疊，為了使地物和地貌完整，需將裂開的部分均勻拉伸，重疊的部分均勻壓縮。由于進行了拉伸和壓縮，地圖在長度、面積和形狀上發生了變化，這種變化就是投影變形。
2.2變形的表現
地圖投影的變形究竟表現在哪些方面？我們把地圖上的經緯線網和地球儀上的經緯線網進行比較，會發現表現在三個方面：長度、面積和角度。
2.2.1變形橢圓
地圖投影上的變形，是隨著地點和方向的改變而變化的，當我們拿到一幅地圖時，很難籠統的說這幅地圖有什么變形，變形有多大，為此，我們來采用底索的圖解法——變形橢圓，來闡明作為投影變換結果各點上產生的角度和面積變形的概念。
[1]
變形橢圓所依據的是比例系數a和b。在地球儀地圖的任何一點上，每個方向比例系數都相同；因此無論何處比例系數SF=a=b=1.0。為了顯示發生的變化，底索用半徑1.0的小圓表示一個點。在任何變換方法中，量值a和b一般會大于或小于1.0。正形投影a=b≠1.0但是在所有其它投影中，a≠b。在這些情況下，指示圓變成橢圓，它是由長半徑a和短半徑b給定的。
2.2.2長度變形
在地球儀上，經緯線的長度具有下列特點，第一，各緯線長度不同，赤道最長，緯度越高緯線越短，極地緯線長度為零；第二，在同一條緯線上，經差相同的緯線弧長相等；第三，所有的經線長度相等，同一條經線上，緯差相同的經線弧長相同。
地圖上的經緯線長度是怎樣的呢？
由圖（1）可以看出各緯線長度相等，各經線長度也相等。這表明各緯線不是按同一比例縮小的，而經線卻是按同一比例縮小的。再由圖（3）可以看出，在同一條緯線上，經差相同的緯線弧長不等，中央的一條經線最短，從中央向兩邊經線逐漸增長。這個圖形說明在同一條緯線上，由于經差的不同，比例發生了變化，從中央向兩邊比例逐漸變小；各條經線不是按同一比例縮小的，它們的變化，是從中央向兩邊比例逐漸增大。
根據上述可知，地圖上的經緯線長度和地球儀上經緯線長度不完全相似，表明地圖上具有長度變形。
長度變形是衡量投影變形大小的一個數量指標，要根據長度比來計算。長度比是投影面上一微小線段ds'和球面上的微小線段ds之比。設以μ表示長度比，則μ=ds'/ds
通常在研究長度比時，不一一研究各個方向的長度比，而是研究其中一些特定方向的長度比，即最大長度比（以a表示），最小長度比（以b表示），經線長度比（以m表示）和緯線長度比（以n表示）。地圖上經緯線呈直角相交者，經緯線長度比就是最大和最小長度比，經緯線不直交者，設其夾角為θ，則經線長度比m、n與最大、最小長度比a、b之間具有下列關系：
m2＋n2=a2＋b2
mnSinθ=ab
長度變形是長度比與1之差，用Vμ表示長度變形，則
Vμ=（ds'－ds）/ds=ds′/ds－1=μ－1
如果知道某一點任一方向的長度比，則按上式可以求出長度變形。長度比只有大于1或小于1的數（個別地方等于1），沒有負數。而長度變形有正有負。長度變形為正，表示長度增長，長度變形為負，表示長度縮短。
這里要說明一下，長度比和長度比例尺是不一樣的。長度比是個相對數量，長度比例尺是個絕對數量。在繪制地圖上的經緯線網時，首先把地球橢圓體按規定的比例尺縮小，然后采用一定的投影方法把它畫在平面圖紙上，這個比例尺稱為主比例尺。即一般地圖上所注明的比例尺。由于地圖投影產生變形，主比例尺僅能被保持在某些點或線上，其余地方或是大于或是小于主比例尺。
[2]
2.2.3面積變形
在地球儀上，同一緯度帶內經差相同的梯形網格面積相等；同一經度帶內緯度越高，梯形面積越小。而在地圖上呢？由圖（1）可以看出，同一經度帶內緯差相同的網格面積相等，這表明面積不是按照同一比例縮小的，緯度越高，面積比例越大；在圖（3）上，同一緯度帶內經差相同的網格面積不等，這說明面積比例隨經度的變化而變化了。
由于地圖上經緯線網格的面積與地球上的不同，表明地圖上具有面積變形。面積變形因投影不同而異。在同一投影上，面積變形因地點而變。
面積變形也是衡量投影變形大小的一個數量指標，要根據面積比來計算。面積比是投影面上微小橢圓面積dF′與球面上的微小圓面積（已按規定比例尺縮小）dF之比，以P表示面積，則P=dF′/dF
設微小圓半徑為r，其面積dF=πr2，微小橢圓面積dF′=πabr2，則
P=dF′/dF=πabr2/πr2=ab 或P=mnSinθ
面積變形是面積比與1之差。用Vp表示面積變形，則
Vp=(dF′－dF)/dF=dF′/dF－1=P－1
如果知道了某點的面積比，就可以計算出該點的面積變形。
面積比也是個相對數量，只有大于1或小于1的數（個別地方等于1），沒有負數。面積變形則有正有負。面積變形為正，表示面積增大，面積變形為負，表示面積減小。
2.2.4角度變形
角度變形是指地圖上兩條線所夾的角度，不等于球面上相應的角度。例如在圖（2）、（3）上，只有中央經線和各緯線相交成直角，其余的經線和緯線均不成直角相交。而在地球儀上，經線和緯線處處都直角相交，這表明地圖上有角度變形。角度變形因投影而異，在同一投影上，角度變形因地點和方向而變。
投影面上兩方向間的夾角與球面上相應的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。
在地球表面的任何地方（兩極除外），羅盤面指示的都相同，也就是說，在每一點上，主方向線總是相距90°，且無論在何處插入一些方向線，其中每條方向線和主方向線構成相同角度。
在地圖投影中，可以在某種程度上保持角度關系的這種性質。保持這種角度關系的地圖投影叫做正形投影，意指“形狀是正確的”。重要的是，應當理解正形這一術語是用于表示在每一點上保持方向和角度正確。根據定義，在球面或地球儀地圖上，每一點的每個方向上的比例系數均為1.0。在任何投影變換中必然產生某種變形。從一點到另一點比例系數必然改變，然而，可以通過拉伸和壓縮使正形投影的每一點上a=b，但ab不一定等于1.0。
3.變形的分析與表達
在變形的大小和分布方面，將一種投影與另一種投影進行比較，有幾種方法可供采用。有的是全圖解法，有的只提供變形大小和位置的直觀表象。一般使用較多的方法是定量的計算2ω和S。
對所有正形投影來說，在投影平面上到處皆為a=b。當a=b時，2ω的數值為0°。由于正形投影各點上沒有角度變形，且因由一處到另一處a和b的數值是變化的，所以ab的乘積（即S）從一處到另一處也應不同。因此，所有正形投影都相對的夸大或縮小面積，并且以各點上的S值提供面積變形程度的指標。
對于等積投影來說，每個點上比例尺關系是ab的乘積總是等于1.0。a和b之間的任何差值，都會使2ω數值大于0°。因此，所有等積投影都會產生角度變形，各點上2ω的值是反映角度變形程度的指標。
對于所有既非正形也非等積的投影來說，a不等于b，ab的乘積也不等于1.0。所以在這種投影上，S和2ω兩者的數值從一處到另一處均有變化。
結語：了解地圖投影變形的表現，有助于我們熟悉地圖投影的特性，提高地圖繪制過程中的精確度，是地圖投影應用實踐環節中很重要的一步，具有重要的意義。
參考文獻：
[1] R.D.塞爾；A.H.羅賓遜.地圖學原理 測繪出版社
[2]褚廣榮.地圖概論 .北京師范大學出版社
[3]
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