趣味邏輯題
海盜分金子
數(shù)學(xué)的邏輯有時會導(dǎo)致看來十分怪異的結(jié)論。一般的規(guī)則是，如果邏輯推理沒有漏洞，那么結(jié)論就必定站得住腳，即使它與你的直覺矛盾。 1998年9月，加利福尼亞州帕洛阿爾托的Stephen M. Omohundro寄給我一道難題，它恰好就屬于這一類。這難題已經(jīng)流傳了至少十年，但是Omohundro對它作了改動，使它的邏輯問題變得分外復(fù)雜了。
先來看看此難題原先的形狀。10名海盜搶得了窖藏的100塊金子，并打算瓜分這些戰(zhàn)利品。這是一些講民主的海盜(當(dāng)然是他們自己特有的民主)，他們的習(xí)慣是按下面的方式進行分配：最厲害的一名海盜提出分配方案，然后所有的海盜(包括提出方案者本人)就此方案進行表決。如果50%或更多的海盜贊同此方案，此方案就獲得通過并據(jù)此分配戰(zhàn)利品。否則提出方案的海盜將被扔到海里，然后下一名最厲害的海盜又重復(fù)上述過程。
所有的海盜都樂于看到他們的一位同伙被扔進海里，不過，如果讓他們選擇的話，他們還是寧可得一筆現(xiàn)金。他們當(dāng)然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盜都是有理性的，而且知道其他的海盜也是有理性的。此外，沒有兩名海盜是同等厲害的——這些海盜按照完全由上到下的等級排好了座次，并且每個人都清楚自己和其他所有人的等級。這些金塊不能再分，也不允許幾名海盜共有金塊，因為任何海盜都不相信他的同伙會遵守關(guān)于共享金塊的安排。這是一伙每人都只為自己打算的海盜。
最兇的一名海盜應(yīng)當(dāng)提出什么樣的分配方案才能使他獲得最多的金子呢?
為方便起見，我們按照這些海盜的怯懦程度來給他們編號。最怯懦的海盜為1號海盜，次怯懦的海盜為2號海盜，如此類推。這樣最厲害的海盜就應(yīng)當(dāng)?shù)玫阶畲蟮木幪枺桨傅奶岢鼍蛯⒌惯^來從上至下地進行。
分析所有這類策略游戲的奧妙就在于應(yīng)當(dāng)從結(jié)尾出發(fā)倒推回去。游戲結(jié)束時，你容易知道何種決策有利而何種決策不利。確定了這一點后，你就可以把它用到倒數(shù)第2次決策上，如此類推。如果從游戲的開頭出發(fā)進行分析，那是走不了多遠的。其原因在于，所有的戰(zhàn)略決策都是要確定：“如果我這樣做，那么下一個人會怎樣做?” 因此在你以下海盜所做的決定對你來說是重要的，而在你之前的海盜所做的決定并不重要，因為你反正對這些決定也無能為力了。
記住了這一點，就可以知道我們的出發(fā)點應(yīng)當(dāng)是游戲進行到只剩兩名海盜——即1號和2號——的時候。這時最厲害的海盜是2號，而他的最佳分配方案是一目了然的：100塊金子全歸他一人所有，1號海盜什么也得不到。由于他自己肯定為這個方案投贊成票，這樣就占了總數(shù)的50%，因此方案獲得通過。
現(xiàn)在加上3號海盜。1號海盜知道，如果3號的方案被否決，那么最后將只剩2個海盜，而1號將肯定一無所獲——此外，3號也明白1號了解這一形勢。因此，只要3號的.分配方案給1號一點甜頭使他不至于空手而歸，那么不論3號提出什么樣的分配方案，1號都將投贊成票。因此3號需要分出盡可能少的一點金子來賄賂1號海盜。這樣就有了下面的分配方案： 3號海盜分得99塊金子，2號海盜一無所獲，1號海盜得1塊金子。
4號海盜的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3號一樣也需再找一人做同黨。他可以給同黨的最低賄賂是1塊金子，而他可以用這塊金子來收買2號海盜。因為如果4號被否決而3號得以通過，則2號將一文不名。因此，4號的分配方案應(yīng)是：99塊金子歸自己，3號一塊也得不到，2號得1塊金子，1號也是一塊也得不到。
5號海盜的策略稍有不同。他需要收買另兩名海盜，因此至少得用2塊金子來賄賂，才能使自己的方案得到采納。他的分配方案應(yīng)該是：98塊金子歸自己，1塊金子給3號，1塊金子給1號。
這一分析過程可以照著上述思路繼續(xù)進行下去。每個分配方案都是唯一確定的，它可以使提出該方案的海盜獲得盡可能多的金子，同時又保證該方案肯定能通過。照這一模式進行下去，10號海盜提出的方案將是96塊金子歸他所有，其他編號為偶數(shù)的海盜各得1塊金子，而編號為奇數(shù)的海盜則什么也得不到。這就解決了10名海盜的分配難題。
Omohundro的貢獻是他把這一問題擴大到有500名海盜的情形，即500名海盜瓜分100塊金子。顯然，類似的規(guī)律依然成立——至少是在一定范圍內(nèi)成立。事實上，前面所述的規(guī)律直到第200號海盜都成立。 200號海盜的方案將是：從1到199號的所有奇數(shù)號的海盜都將一無所獲，而從2到198號的所有偶數(shù)號海盜將各得1塊金子，剩下的1塊金子歸200號海盜自己所有。
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